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最小二乘估计•学校：西安建筑科技大学附中•讲课人：高博•课本第54页有一个非常直观的想法，一个好的线性关系要保证这条直线与所有点都近，最小二乘法就是基于这种想法。点到直线的距离公式如何表示？我们可以看到，利用距离公式在计算方面是比较麻烦，因此我们想将它简化，你知道怎样简化吗？我们可以这样来刻画“距离”假设一条直线的方程为:y=a+bx,对于给定的一个样本点(xi,yi),我们用来刻画这个样本点与这条直线的距离，用它们表示二者之间的接近程度。(1)定义：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：______________________________________________.使得上式达到_______的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为___________．1．最小二乘法[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2最小值最小二乘法(2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的______图．如果_______呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果_______呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．散点图散点散点图2．线性回归方程如果用x－表示x1＋x2＋…＋xnn，用y－表示y1＋y2＋…＋ynn，则可以求得b＝（x1－x－）（y1－y－）＋（x2－x－）（y2－y－）＋…＋（xn－x－）（yn－y－）（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－x－）2＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－nx－y－x21＋x22＋…＋x2n－nx－2.a＝______．这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的_____．系数y－-bx－如果样本点只有两个，最小二乘法得到的直线与两点式求出的一致吗？思考交流解:是一致的。1212211212y-yxy-xyba=x-xx-x用最小二乘法是可求得，112121y=a+bxy-yx-x=y-yx-x代入整理可得：与两点式相同。解：（1）从散点图可看出，表中的两个变量是线性相关的。分步计算减少出错ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442410381003805450162006-1641-64合计7023012861910回归直线方程求解的方法步骤根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程．求线性回归方程的步骤：第1步：列表xi，yi，xiyi；第3步：代入公式计算b，a的值；第4步：写出回归方程y＝a＋bx.利用回归直线对总体进行估计：利用回归直线，我们可以进行预测．若回归方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为：y＝bx0＋a.第2步：计算x－，y－，等；例2：下面的数据给定了两个变量之间的关系:x12345678y1491625364964请利用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程.解根据数据计算出：5.25,5.4yx其他数据如下表:ixiyixi2xiyi111112244833992744161664552525125663636216774949343886464512合计362042041296从题目中可看出提供的数据满足，图像应为曲线方程，而用最小二乘法进行估计时得出是线性方程。从而我们利用最小二乘估计时，已经失去了意义，你认为问题出在哪里呢？1.利用最小二乘估计时，要先作出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系。2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法估计出线性回归方程。3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合。课本第70页的复习题一A组第8题•课后作业•谢谢！