线性方程组的迭代解法及matlab程序

线性方程组的迭代解法雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。1证明：迭代格式fBxxkk)()1(收敛，其中21,8.03.009.0fB。（迭代法收敛性判断）解：)8.0)(9.0(8.03.009.0BI因19.0)(B，故迭代收敛。2若用雅可比迭代法求解方程组)0(221122221211212111aabxaxabxaxa迭代收敛的充要条件是122112112aaaa。（雅可比迭代法的收敛性）解：原线性方程组的等价方程组为222212221111211121abxxaaabxaax其雅可比迭代式为222111)(22211112)1(00ababxaaaaxkk22112112222211112aaaaaaaaBI其收敛的充要条件是1)(22112112aaaaB，即122112112aaaa。3用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组423322121xxxx是否收敛？为什么？若将方程组改变成为324232121xxxx再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性）解：雅可比迭代式为2302320)()1(kkxx32322JBI其13)(JB，故雅可比迭代发散。高斯-塞德尔迭代式为2533020)()1(kkxx)3(302GBI其13)(GB，故高斯-塞德尔迭代发散。对于线性方程组324232121xxxx，即232134322121xxxx，其雅可比迭代为2334021320)()1(kkxx，3121322JBI其131)(JB，故雅可比迭代收敛。23341210100320121011)(1)1(kkxx，6534310320)()1(kkxx)31(31032GBI其131)(GB，故高斯-塞德尔迭代收敛。4证明解线性方程组bAx的雅可比迭代收敛，其中110121014A。（雅可比迭代收敛性判断）解：雅可比迭代为bf12141，01021021041001010101012141BfBxxkk)()1(，)85(1021210412BI其185)(B，故雅可比迭代收敛。5已知方程组bAx，其中13.021A，21b(1)试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。(2)若有迭代公式)()()()1(bAxxxkkk，试确定的取值范围，使该迭代公式收敛。（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论）解：雅可比迭代式为2103.020)()1(kkxx6.03.022JBI其16.0)(JB，故雅可比迭代收敛。高斯-塞德尔迭代式为7.116.0020)()1(kkxx)6.0(6.002GBI其16.0)(GB，故高斯-塞德尔迭代收敛。对于以下迭代式bxAIbAxxxkkkk)()()()1()()()6.01)(6.01(13.021AI故AI的特征值为)6.01(1，)6.01(1。当0)6.01(5时，有1)(AI，从而迭代收敛。6给出矩阵121aaA，（为实数），试分别求出的取值范围：(1)使得用雅可比迭代法解方程组bAx时收敛；(2)使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组bAx时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论）解：雅可比迭代为bxxkk)()1(0202222JBI当21时，12)(JB，使雅可比迭代收敛。高斯-塞德尔迭代为bxxkk1201200)(2)1()2(2022GBI仍然是当21时，12)(2GB，使高斯-塞德尔迭代收敛。7设2112A，21b(1)设)(kx是由雅可比迭代求解方程组bAx所产生的迭代向量，且Tx)1,1()0(，试写出计算)(kx的精确表达式。(2)设*x是bAx的精确解，写出误差*)(xxk的精确表达式。(3)如构造如下的迭代公式)()()()1(bAxxxkkk解方程组bAx，试确定的范围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断）解：原线性方程组等价于12112121121xx，其雅可比迭代为),2,1(11,121021210)0()1()(kxxxkk将上述迭代式记作fBxxkk)1()(，从而)()(*)0(*)1(*)(xxBxxBxxkkk而10*x，011011*)0(xx，若记0110J，则IJ2，JJ3，…于是JB)21(，IB22)21(，JB33)21(，IB44)21(，JB55)21(，…当k为偶数时，kkkxx2101)21(*)(当k为奇数时，kkkkxx2110)21(010110)21(*)(总之，kkxx21*)(。2112A的特征多项式为)3)(1(2112AI，故其特征值为1，3。对于迭代bxAIbAxxxkkkk)()()()1()()(其迭代矩阵为AI，其特征值为1，31。当032时，1)(AI，该迭代收敛。8对于给定的线性方程组3222122321321321xxxxxxxxx（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。（2）对收敛的方法，取初值Tx)0,0,1()0(，迭代两次，求出)3()2()1(,,xxx。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较）解：122111221A，321b雅可比迭代式为：321022101220)()1(kkxx，取001)0(x计算迭代阵的特征值3221122BI故10)(B，雅可比迭代收敛。高斯-塞德尔迭代式200320220000100220120011001000100220122011001)(11ULDB111321120011001)(1bLDf111200320220)()1(kkxx，取001)0(x计算迭代阵的特征值)2(20032022BI故12)(B，高斯-塞德尔迭代发散。对于雅可比迭代，取Tx)0,0,1()0(，可得Tx)1,1,1()1(，Tx)1,0,1()2(，Tx)1,2,1()3(进一步的计算可知，Tx)1,2,1(*。9证明对称矩阵111A当121为正定矩阵，且只有当2121时，用雅可比迭代法求解方程组bAx才收敛。（雅可比迭代法的收敛性）解：矩阵A的各级顺序主子式分别为11A，221A，)21)(1(3A当121时，上述各级顺序主子式均大于零，故A正定。其雅可比迭代式为bxxkk)()1(000其迭代矩阵的特征多项式为))(2(BI迭代矩阵的特征值为2和。当2121时，1)(B，雅可比迭代收敛。《计算方法》实验3一．实验名称：Jacobi迭代,Gauss-Seidel迭代和SOR法二．实验目的：熟悉解线性方程组的一些常见迭代法，如Jacobi,Gauss-Seidel迭代,SOR法等。三．实验内容1．Jacobi迭代法例1用jacobi迭代法求解代数线性代数方程组AXb,保留四位有效数字(err＝1e-4)其中A=[8-11;210-1;11-5];b=[1;4;3]。解：编写jacobi迭代法的函数文件，保存为jacobi.mfunction[x,k]=jacobi(A,b,x0,eps,N)%求解Ax=b；x0为初始列向量；eps为误差容限；N为最大迭代次数%输出x为近似解；k为迭代次数n=length(A);x=zeros(n,1);fork=1:Nfori=1:n―――――――endifnorm(x-x0,inf)eps%迭代终止条件%if(max(abs(x-x0)))epsbreak;endx0=x;end编写主程序如下formatlongclearA=[8-11;210-1;11-5];b=[1;4;3];x0=[0.125;0.4;-0.6];%x0为初始列向量N为最大迭代次数err=1e-4;%err为误差容限N=25;%N为最大迭代次数[x,k]=jacobi(A,b,x0,err,N)得到结果如下x=0.224923156250000.30561995000000-0.49388680000000k=62．Gauss-seidel迭代法例2用Gauss-seidel迭代法求解代数线性代数方程组AXb,保留四位有效数字(err＝1e-4)其中A=[8-11;210-1;11-5];b=[1;4;3]。解：编写Gauss-seidel迭代法的函数文件，保存为gaus.mfunction[x,k]=gaus(A,b,x0,eps,N)%求解Ax=b；x0为初始列向量；eps为误差容限；N为最大迭代次数%输出x为近似解；k为迭代次数n=length(A);x=zeros(n,1);fork=1:Nfori=1:n――――――endifnorm(x-x0,inf)eps%迭代终止条件%if(max(abs(x-x0)))epsbreak;endx0=x;end编写主程序如下formatlongclearA=[8-11;210-1;11-5];b=[1;4;3];x0=[0.125;0.4;-0.6];%x0为初始列向量N为最大迭代次数err=1e-4;%err为误差容限N=25;%N为最大迭代次数[x,k]=gaus(A,b,x0,err,N)输出结果为x=0.224939378906250.30562326171875-0.49388747187500k=53．SOR迭代法例3用