搜索
第一章题12给定节点01x=−，11x=，23x=，34x=，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1）3()432fxxx=−+（2）（2）43()2fxxx=−解（1）(4)()0fx=，由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()()04!ffxpxxxxxxxxxξ−=−−−−=；（2）(4)()4!fx=由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!fxpxxxxxxxxx−=−−−−(1)(1)(3)(4)xxxx=+−−−.题15证明：对于()fx以0x，1x为节点的一次插值多项式()px，插值误差01210()()()max()8xxxxxfxpxfx≤≤−′′−≤.证由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!ffxpxxxxxξ′′−=−−，其中01xxξ≤≤，010101max()()()()()()()()2!2!xxxfxffxpxxxxxxxxxξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max()8xxxxxfx≤≤−′′≤.题22采用下列方法构造满足条件(0)(0)0pp′==，(1)(1)1pp′==的插值多项式()px：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0pp′==，(1)1p=的插值多项式()px.解（1）有四个插值条件，故设230123()pxaaxaxax=+++，2123()23pxaaxax′=++，代入得方程组001231123010231aaaaaaaaa=⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪++=⎩解之，得01230021aaaa=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=−⎩23()2pxxx∴=−；（2）先求满足插值条件(0)(0)0pp′==，(1)1p=的插值多项式()px，由0为二重零点，可设2()pxax=，代入(1)1p=，得1a=，2()pxx∴=；再求满足插值条件(0)(0)0pp′==，(1)(1)1pp′==的插值多项式()px，可设22()(1)pxxbxx=+−，2()22(1)pxxbxxbx′=+−+∵，代入(1)1p′=，得1b=−，2223()(1)2pxxxxxx∴=−−=−.题33设分段多项式323201()2112xxxSxxbxcxx⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,bc的值.解由(1)2S=得212bc++−=，1bc∴+=；223201()6212xxxSxxbxcx⎧+′=⎨++⎩，由(1)5S′=得625bc++=，21bc∴+=−；联立两方程，得2,3bc=−=，且此时6201()12212xxSxxbx+⎧′′=⎨+⎩，(1)8(1)SS−+′′′′==，()Sx是以0,1,2为节点的三次样条函数.题35用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627xyxyxyxy+=⎧⎪−=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.解记残差的平方和为2222(,)(2411)(353)(26)(27)fxyxyxyxyxy=+−+−−++−++−令00fxfy∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960xyxy−−=⎧⎨−+−=⎩，解之得83027311391xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37用最小二乘法求形如2yabx=+的多项式，使与下列数据相拟合：x1925313844y19.032.349.073.397.8解拟合曲线中的基函数为0()1xϕ=，20()xxϕ=，其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)fafbϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，其中00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4fϕ=，1(,)369321.5fϕ=，解之得5320.97265472850.055696ab⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，20.97260.05yx∴=+.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：（2）10120113()()()()424fxdxAfAfAf≈++∫（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，11000013()()224()11133()()4244xxAlxdxdx−−===−−∫∫，11110013()()144()11133()()2424xxAlxdxdx−−===−−−∫∫，11220011()()242()31313()()4442xxAlxdxdx−−===−−∫∫，10211123()()()()343234fxdxfff∴≈−+∫，当3()fxx=时，有左边＝113001()dd4fxxxx==∫∫，右边＝3332111232111231()()()()()()3432343432344fff−+=⋅−⋅+⋅=，左边＝右边，当4()fxx=时，有左边＝114001()dd5fxxxx==∫∫，右边＝44421112321112337()()()()()()343234343234192fff−+=⋅−⋅+⋅=，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8已知数据表x1.11.31.5xe3.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分1.51.1xedx∫.解辛甫生法1.51.1xedx∫()1.51.13.004243.66934.48171.477546−≈+×+=；复化梯形法1.51.1xedx∫()0.23.004223.66934.48171.482452≈+×+=.题17用三点高斯公式求下列积分值12041dxxπ=+∫.解先做变量代换，设)(1+21=tx，则1204d1xx+∫＝112112418dd124(1)1(1)4tttt−−⋅=++++∫∫()22258885899940133414155≈×+×+×++⎛⎞⎛⎞+−+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠3.141068=.第三章用欧拉方法求解初值问题yaxb′=+，(0)0y=：（1）试导出近似解ny的显式表达式；解（1）其显示的Euler格式为：11111(,)()nnnnnnyyhfxyyhaxb−−−−−=+=+⋅+故122()nnnyyhaxb−−−=+⋅+⋯⋯100()yyhaxb=+⋅+将上组式子左右累加，得0021()nnnyyahxxxnhb−−=+++++⋯(02(2)(1))ahhhnhnhnhb=+++−+−+⋯2(1)/2ahnnnhb=−+题10选取参数p、q，使下列差分格式具有二阶精度：1111(,)nnnnyyhKKfxphyqhK+=+⎧⎨=++⎩.解将1K在点(,)nnxy处作一次泰勒展开，得11(,)nnKfxphyqhK=++21(,)(,)(,)()nnxnnynnfxyphfxyqhKfxyOh=+++()221(,)(,)(,)(,)(,)()(,)()nnxnnnnxnnynnynnfxyphfxyqhfxyphfxyqhKfxyOhfxyOh=++++++2(,)(,)(,)(,)()nnxnnnnynnfxyphfxyqhfxyfxyOh=+++代入，得()21(,)(,)(,)(,)()nnnnxnnnnynnyyhfxyphfxyqhfxyfxyOh+=++++2231(,)(,)(,)(,)()nnnnxnnnnynnyyhfxyphfxyqhfxyfxyOh+=++++而231()()()()()()2nnnnnhyxyxhyxhyxyxOh+′′′=+=+++23()(,())(,())(,())(,())()2nnnxnnnnynnhyxhfxyxfxyxfxyxfxyxOh⎡⎤=++++⎣⎦考虑其局部截断误差，设()nnyyx=，比较上两式，当12p=，12q=时，311()()nnyxyOh++−=.第四章题2证明方程1cos2xx=有且仅有一实根；试确定这样的区间[,]ab，使迭代过程11cos2kkxx+=对一切0[,]xab∈均收敛.解设1()cos2fxxx=−，则()fx在区间(,)−∞+∞上连续，且11(0)cos0022f=−=−，1()cos022222fππππ=−=，所以()fx在[0,]2π上至少有一根；又1()1sin02fxx′=+，所以()fx单调递增，故()fx在[0,]2π上仅有一根.迭代过程11cos2kkxx+=，其迭代函数为1()cos2gxx=，[0,]2xπ∀∈，110()cos222gxxπ≤=≤≤，()[0,]2gxπ∴∈；1()sin2gxx′=−，1()12gx′≤，由压缩映像原理知0[0,]2xπ∀∈，11cos2kkxx+=均收敛.注这里取[,]ab为区间[0,]2π，也可取[,]ab为区间(,)−∞+∞等.题5考察求解方程1232cos0xx−+=的迭代法124cos3kkxx+=+（１）（１）证明它对于任意初值0x均收敛；（２）证明它具有线性收敛性；证（1）迭代函数为2()4cos3gxx=+，(,)x∀∈−∞+∞，()(,)gx∈−∞+∞；又22()sin133gxx′=−≤，由压缩映像原理知0x∀，124cos3kkxx+=+均收敛；（2）***1*2lim()sin03kkkxxgxxxx+→∞−′==−≠−（否则，若*sin0x=，则*,xmmZπ=∈，不满足方程），所以迭代124cos3kkxx+=+具有线性收敛速度；题7求方程3210xx−−=在01.5x=附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛：（１）（１）改写方程为211xx=+，相应的迭代公式为1211kkxx+=+；（２）（２）改写方程为321xx=+，相应的迭代公式为2311kkxx+=+.解（1）3232211011xxxxxx−−=⇔=+⇔=+，迭代公式为1211kkxx+=+，其迭代函数为21()1gxx=+[1.3,1.6]x∀∈，2221111.31.39061111.59171.61.61.3x≤≈+≤+≤+≈，()[1.3,1.6]gx∴∈；又32()gxx′=−，333222-0.9103==-0.48831.31.6x−−−≤≤，()0.91031gx′≤，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x∀∈，1211kkxx+=+均收敛；（2）3323221011xxxxxx−−=⇔=+⇔=+，迭代公式为2311kkxx+=+，其迭代函数为32()1gxx=+[1.3,1.6]x∀∈，3332221.31.390811.3111.61.52691.6x≤≈+≤+≤+≈，()[1.3,1.6]gx∴∈；又2232()3(1)xgxx′=+，332223322221.60=0.4912333(1)3(2)xxxxx×≤≤≤=+，()0.49121gx′≤，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x∀∈，2311kkxx+=+均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：1231231235325242511xxxxxxxxx+−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=−⎩（2）其雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()312253512221121555kkkkkkkkkxxxxxxxxx+++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555kkkkkkkkkxxxxxxxxx++++++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组）12312312323553476335xxxxxxxxx++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解（2）对其增广矩阵进行列主元消元得23553476347634763476