控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

8.3控制系统的李雅普诺夫稳定性分析稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系统的稳定性，这些稳定性判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定性分析的要求。1892年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性理论，提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的这一理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其他方法未能解决的非线性微分方程的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。8.3.1李雅普诺夫稳定性概念忽略输入后，非线性时变系统的状态方程为（8-70）(,)t=&xfx式中x—n维状态向量；T—时间变量；(,)tfx—n维函数，其展开式为12(,,,,)iinxfxxxt=&L（ni,,1L=）假定方程的解为，x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻，。00(;,)ttxx0000(;,)tt=xxx1.平衡状态如果对于所有t，满足(,)eet=&xfx=0（8-71）的状态xe称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态方程，令所求得的解x，便是平衡状态。0=&x对于线性定常系统，其平衡状态满足=&xAx0e=Ax，如果矩阵A非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，的解可能有多个，由系统状态方程决定。(,)0et=fx控制系统李雅普诺夫稳定性理论所指的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状362态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。（a）李雅普诺夫意义下的稳定（b）渐近稳定（c）不稳定图8-18稳定性的平面几何表示2．李雅普诺夫稳定性定义（1）李雅普诺夫稳定性。如果对于任意小的ε0，均存在一个0),(0tεδ，当初始状态满足0eδ−≤xx时，系统运动轨迹满足limt→∞00(;,)ettε−≤xxx，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。该定义的平面几何表示如图8-18（a）所示，0e−xx表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为201010()(eenxxxx−=−++−Lxx2)ne（8-72）设系统初始状态x0位于平衡状态以xe为球心、半径为δ的闭球域()Sδ内，如果系统稳定，则状态方程的解00(;,)xxtt在∞→t的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域()Sε内。（2）一致稳定性。通常δ与ε、t0都有关。如果δ与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。（3）渐近稳定性。系统的平衡状态不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有00lim(;,)0ettt→∞−→xxx（8-73）称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从()Sδ出发的轨迹不仅不会超出()Sε，且当∞→t时收敛于xe或其附近，其平面几何表示如图8-18（b）所示。（4）大范围稳定性。当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，∞→δ，∞→δ)(S，。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。→∞x（5）不稳定性。不论δ取得多么小，只要在()Sδ内有一条从x0出发的轨迹跨出()Sε，则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示如图8-18（c）所示。363注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过()Sε，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。（6）BIBS稳定性。对任意有界的，若在任意有界的输入的作用下，均有界，则称系统BIBS稳定。(0)x()tu()tx（7）BIBO稳定性。对任意有界的，若在任意有界的输入的作用下，均有界，则称系统BIBO稳定。(0)x()tu()ty8.3.2李雅普诺夫稳定性间接判别法李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。线性定常系统的特征值判据系统渐近稳定的充分必要条件是：系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部，即&x=Ax0)Re(λi（ni,,1L=）（8-74）证明假定矩阵A有相异特征值nλλ,,1L，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换x=Px（P由特征值对应的特征向量构成，为一常数矩阵），可使iλA对角化，有-11[,,]A=PAPλλ=Lndiag变换后状态方程的解为1()(0)[](0)Axxxλλ==Lnttttediagee由于1−x=Px，1(0)(0)−=xPx故原状态方程的解为1()(0)(0)tttee−==AAxPPxx有111diag[]ntttteeeeλλ−−==LAAPPPP将上式展开，的每一元素都是的线性组合，因而可写成矩阵多项式Atettneeλλ,,1L111innttttinieeeeλλλ===++∑LARRR故可以显式表出与()txλi的关系，即11()(0)[](0)ntttnteeeλλ==++LAxxRRx当式（8-74）成立时，对于任意，均有(0)x()0tt→∞→x，系统渐近稳定。只要有一个特征值的实部大于零，对于,便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对，且均不能是重根）特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零，便含有常数项或三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。(0)0≠x()tx()tx3648.3.)3李雅普诺夫稳定性直接判别法李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无须求出系统状态方程的解。它对各种控制系统均适用。根据物理学原理，若系统储存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与及t有关，是一个标量函数，记以；若不显含t，则记以。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用表示。遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数作为李雅普诺夫函数。nxx,,1L(,)Vtx()Vx(,)Vt&xTxPx1．标量函数定号性（1）正定性。标量函数在域S中，对所有非零状态()Vx(0≠x有，且，称在域S内正定。例如，V()0Vx()0V=0()Vx212()xx=+x2是正定的。（2）负定性。标量函数在域S中，对所有非零()Vxx有()0Vx，且，称在域S内负定。例如，是负定的。如果是负定的，-则一定是正定的。()0V=0()Vx2212()()Vx=−+xx()Vx()Vx（3）负（正）半定性。()0V=0，且在域S内某些状态处有，而其他状态处均有()Vx0)(=xV()0Vx（），则称在域S内负（正）半定。设为负半定，则-为正半定。例如，为负半定。()0Vx()Vx()Vx()Vx212()(2)Vxx=−+x（4）不定性。在域S内可正可负，则称不定。例如，是不定的。()Vx()Vx12()Vx=xxn关于正定性的提法是：标量函数在域S中，对于及所有非零状态有,且，则称在域S内正定。的其他定号性提法类同。(,)Vtx(,)Vtx0tt(,)0Vtx(,)0Vt=0(,)Vtx(,)Vtx二次型函数是一类重要的标量函数，记[]1111T11()nnnnnppxVxxppx⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦LLMMLxxPxM（8-75）其中，P为对称矩阵，有，显然满足jiijpp=()0V=x，其定号性由赛尔维斯特准则判定。当矩阵的各顺序主子行列式均大于零时，即P111111211212210,0,,0nnnnpppppppppLLMML（8-76）P为正定矩阵，则正定。当的各顺序主子行列式负、正相间时，即()VxP365111111211212210,0,,(1)0nnnnnppppppppp−LLMML（8-77）P为负定矩阵，则负定。若主子行列式含有等于零的情况，则为正半定或负半定。不属以上所有情况的不定。()Vx()Vx()Vx下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理概念的阐述和应用。2．李雅普诺夫第二法诸稳定性定理设系统状态方程为，其平衡状态满足(,)t=&xfx(,)ft=00,不失一般性，把状态空间原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在对的连续的一阶偏导数。(,)Vtxx定理1若①正定，②负定；则原点是渐近稳定的。(,)Vtx(,)Vt&x(,)Vxt&负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。定理2若①正定，②负半定，且在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。(,)Vtx(,)Vt&x(,)Vt&x负半定表示在非零状态存在(,)0Vt≡&x，但在从初态出发的轨迹上，不存在的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。00(;,)ttxx(,)0x≡&Vt定理3若①正定，②负半定，且在非零状态恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。(,)Vtx(,)Vt&x沿状态轨迹能维持，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态而不运行至原点。(,)0Vt≡&x定理4若①正定，②正定，则原点是不稳定的。(,)Vtx(,)Vt&x(,)Vt&x正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。参考定理2可推论：若正定，当正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。(,)Vtx(,)Vt&x应注意到，李雅普诺夫函数[正定的]的选取是不唯一的，但只要找到一个满足定理所述条件，便可对原点的稳定性做出判断，并不因选取的不同而有所影响。不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障碍。如果选取不当，会导致不定的结果，这时便做不出确定的判断，需要重新选取。(,)Vtx(,)Vtx(,)Vtx(,)Vtx(,)Vt&x(,)Vtx以上定理按照连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故用稳定性定理判断稳定者必稳定，李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。(,)Vt&x具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数，通常选二次型函数，求其导数，再将状态方程代入，昀后根据的定号性判别稳定性。(,)Vtx(,)Vt&x(,)Vt&x至于如何判断在非零状态下是否有恒为零的情况，可按如下方法进行：]),,;([00ttxtxV366令，将状态方程代入，若能导出非零解，表示对(,)0Vt≡&x0≠x，的条件是成立的；若导出的是全零解，表示只有原点满足(,)0Vt≡&x(,)0Vt≡&x的条件。例8-13试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性：)(2221121xxxxx+−=&)(2221212xxxxx+−−=&解令及，可以解得