复分析期末试题(0777)

复分析期末试题（2007707）任课教师张广远一．填空（每小题4分）1．a是f的m阶零点，求ff在点的留数。2．u(x,y)是调和函数，v(,)是u(x,y)的共轭调和函数，其中x,y0,0v(,)=c+P(,)Q(,)dd，求P(,)，Q(,)。3.级数n2n-nnn1n0(2n)z(3z)，求其收敛区域。4.22z2f(z)Lnz,取C\[,1][0,1]单值解析分支，Ln(2)=ln3，那么Ln(2i)=？5.分式线性变换把1，12，2分别映为，i，-i。那么此变换把z1映为什么，请具体叙述。6.求7zz4ze,z1在内有几个零点二．求下列积分。(每题5分)1.mm1z1zzzd2.212zz1(z3)ezd3.z3z1zsinzz(1-e)d4.28z5z1zz1d三．求下列实积分。（每题7分）1.222cosxx2dx2.20154sinxdx四．一个区域上的调和函数u(x,y)，222222uu()()xy要么没有零点，要么只有孤立零点。（本题10分）五．一个解析函数Taylor展开式为nnn0cz，总把实数映为实数，证明：nc为实数。（本题10分）六．()Pz为整函数，求证：1Re()()0zPzPzdz（本题11分）七．:f(其中为1z的圆盘)是一个单叶解析满射，11()22f，11()22f求证：()fzz（本题5分）八：写出所有:fDD（:01Dz），f为单页解析映射并证明。（本题5分）另：P(z)=z^7+23z^3+26z+1问1|z|2中P(z)有几个零点又问在r=3的圆上的积分SSP'(z)/P(z)*dz=?Sr=3设D是一个区域，f(z)在D及其边界上连续且处处非零，|f(z)|在D的边界上是常数用最大模原理证明f(z)在D内是常数把带形区域{0ImZpi}映射到|w|1，且满足f(pi*j/2)=0,f'(pi*j/2)0求变换并问这样的变换是否唯一？一填空1.用cosx,sinx及其次幂表示sin5x=_________2.设函数my^3+nx^2y+i(x^3+lxy^2)解析，则常数l=______,m=______,n=______3.求积分cosπz/(z-1)^5(|z|=2)4.确定级数Σa^n/z^n+Σz^n/b^n(a与b为复常数,且|a||b|)的收敛范围5.求级数Σ(z-1)^n/n的收敛半径r=______,并指出z=0和z=2的收敛情况6.求留数Res[(1-cosz)/z^3,0]=______7.设w=(az+b)/(cz+d)(其中ac!=0,ad-bc!=0),则w'(0)=______,w在0点的转动角是______,伸缩率是______8.把具有割痕Re(z)=0,0=Im(z)=a的上半平面映射成上半平面的一个映射是______9.复平面上的虚轴Oy在映射w=(z+ia)/(-z+ia)(其中a!=0实数)下的像是______二简答1.计算积分z^2,积分路线为:自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3+i2.已知调和函数u=2(x-1)y,求解析函数f(z)=u+iv,使f(2)=-i,并求其导数3.在下列圆环域内将函数1/(z-1)(z-2)展开成洛朗级数:0|z-1|1,0|z-2|1___4.证明,复平面上的圆周方程具有形式zz+az+az+c=0(其中a为复常数,c为实常数),并证明w=1/z具有保圆性5.讨论,当复参数a取何值时,复数列Zn=a^n,ζn=a^n/(1+a^n)分别收敛三证明证明,对于复变函数w=f(z)1.如果在z点极限lim(ReΔw/Δz)存在,则偏导数偏u/偏x,偏v/偏y存在且相等Δz-02.如果在z点极限lim(ImΔw/Δz)存在,则偏导数偏v/偏x,偏u/偏y存在且偏u/偏y=-Δz-0偏v/偏x1.计算Re(Ln(z-1)),z^z,其中z=re^(iθ)2.f(z)=0当z=0f(z)=sin(arg(z)),z不等于0讨论f(z)连续性3.计算积分单位圆周：被积函数∫|z^2-1||dz|定积分：-无穷--+无穷被积函数(1-x)/(1-x^5)疯了4.证明f(z)在D内解析，I简单闭曲线证明∫(f(z)的共轭）*(f'(z))dz为纯虚数5.展开级数Ln(sinz/z)到z^6为止罗朗级数(z^2+4z+5)/(z-2)(z^2+1)在0|z-2|根号5内展开变态！6.共型映射1.求将上半平面变成单位园并且把1/2变成圆心的映射2.求将全平面除去上半单位圆弧的区域映射成单位园外部，并且∞映射到∞7.求所有形如u=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3的调和函数，并求其共轭函数和构成解析函数