复变函数与积分变换(08级)参考答案

2010-2011第一学期自动化专业08级复变函数与积分变换参考答案一、解答下列各题（每小题5分，共50分）1、设a、b是实数，函数iybxaxyzf)()(22在复平面解析，分别求a、b之值，并求)(zf.解：)(zf是复平面上的解析函数，则22),(,),(ybxyxvaxyyxu在平面上满足C—R方程，即：xyyxvuvu,…………………………2分故bxaxyay22对yx,成立，1,2ba…………………………3分222)(2)(izixyxyzfizyixizxiyviuzfxx2)()2(2)(…………5分2、求ii2)1(，并指出其主值.解：)))1(2(ln2exp())1(2exp()1(2iiArgiiLniii…………2分exp(2(ln2(2)))4exp((4)(ln2))2iikni))2sin(ln)2(cos(ln42ien；其中Zn；…………4分其主值为))2sin(ln)2(cos(ln2ie.…………5分3、计算积分Czdz，其中C是从原点到1+3i的直线段。解：参数方程103ttytx…………2分Czdz510)31)(3(1010tdtdtitit…………5分4、计算Cdzzz)3211(，其中4||:zC，方向为正向.解：由Cauchy积分公式，…………2分原式=iiizdzzdzzz622123214||4||.…………5分5、计算Czdzze55，其中1||:zC,方向为正向。解：因5)(zezf在复平面解析，由高阶导数公式，1|)0(52!40)4(5zzCzefdzzei，所以12!4255iidzzeCz…………5分6、求幂级数02!)1(nnnz的和函数，并注明其收敛域。解：2)1(02!)1(znnenz||z…………5分7、求1)(2zezzf的奇点，并指出奇点类型.解：1)(zezg的零点为ik2（Zk），显然它们都是孤立零点；而01)2('2ikeikg，所以这些点都是)(zg的1级零点；但其中0z是分子2z的2级零点，所以，0z是函数f的可去奇点，…………2分其他的ik2（0,kZk）都是f的1级极点…………5分8、求2sin)(zzezfz在孤立奇点0z处的留数.解：0z是f的1级极点，所以220sinsinRes[(),0]Res[,0]lim()1zzzezezfzzzz…………5分9、求积分dzzzC12，其中2||:zC，方向为正向.解：1)(2zzzf在复平面上有两个奇点i，i，且都包含在曲线C内；由留数定理，2222(Res[,]Res[,])111Czzzdziiizzziiiiii2)22(2……5分10、计算积分23d.(610)xxx解原式2312πiRes(,i3)(610)zz355i31123πi[]πiπ.(3i)2i8zz…………5分二、（10分）将函数)1)(2(1)(zzzf分别在圆环域1|1|0z，|1|1z展开成Laurent级数.解：在圆环域1|1|0z上的Laurent级数为01)1()1(11)1(1111)1)(2(1)(nnnzzzzzzzf；…………5分在圆环域|1|1z上的Laurent级数为111111111)1(111)1)(2(1)(zzzzzzzzf20)11()1()11()1(1111nnnnnnzzzz…………10分三、（8分）验证xyyxyxu2),(22是z平面上的调和函数，并求以),(yxu为实部的解析函数，使iif21)(.解：（1）02,2yyxxyyxxuuuu故),(yxu是调和函数。…………2分（2）利用C—R条件，先求出),(yxv的两个偏导数。yxxuyvyxyuxv2222…………4分则Cdyyxdxxyyxvyx)22()22(),(),()0,0(xyCdyyxdxx00)22()2(Cyxyx222…………8分)2()2()(2222CyxyxixyyxzfCiyixiyix22)()(2(1)iziC…………9分由121121)(CiiCiiif故izizf2)1()(…………10分四、设函数ivuzf)(在区域D解析，并在D内满足12vu。试证：在D内)(zf恒等于一个常数。证：函数ivuzf)(在区域D解析,:,xyyxuvCRuvuv可微…………3分另一方面，2120,202020xyxyxyxyuvuuvvuuuu…………8分221200,00,0xyxyCRuuvv…………10分所以，在D内vu,都恒为常数，从而ivuzf)(在D内恒为一个常数。五、（10分）用留数计算2π0d.5+3cos解令1id3()e,d,3cosi2zzzzz…………2分原积分2||12di(3103)zzzz…………5分在||1z内仅13z一个一级极点.2111Res(,)310338zz故2π0d1π.5+3cos2…………10分注：ii1ieedcos.diedd.22izzzzizdz六、（10分）用Laplace变换解微分方程的初值问题：21txxxe，(0)(0)0xx.解：设L[)(tx]=)(sF，方程两边求Laplace变换，得到sssFssFsFs111)(2)()(2；…………3分将(0)(0)0xx代入，得sssFss111)()2(2；…………5分解出)1111121(21)1)(2(1)111()(sssssssssF；…………8分求Laplace逆变换，得到)1(21)(2ttteeetx…………10分