复变函数与积分变换模拟试卷.答案

《复变函数与积分变换》试卷答案第1页（共7页）南京师范大学2009-2010学年第1学期《复变函数与积分变换》课程期末试卷（A）答案一填空（20102分）1．所谓的扩充复平面是指的复平面。2．设yixz是虚数（即0y），则21zz为实数的条件是122yx3.设C是单位圆1z的上半部分逆时针方向，则cdzz)1(24.计算122coszdzzz05．指数函数的Laplace变换][kteLksks)Re(16.设0z是)(zf的)1(mm级极点，计算)(zf在0z处的留数的方法有：10]),([Re)1(czzfs)]()[(lim)!1(1]),([Re)2(01100zfzzdzdmzzfsmmmzz7．1z是函数zze1的本性奇点（奇点的类型）。8.位移性质若),()]([SFtfL则有)]([tfeLat),(asF9．设)0),((Re,1)(4zfszezfz!31二．计算下列各题（3065分）1.研究函数2)(zzf的解析性.解222)(yxzzf专业：班级：学号：姓名：-------------------------装----------------------订------------------------线------------------------------------------------装-----------------------------------------------------------订---------------------------------------------------------------线-----------------------------《复变函数与积分变换》试卷答案第2页（共7页）22),(yxyxuxxu2yyu2（2分）0),(yxv0xv0yv（2分）xvxuyvxu满足C-R方程点外处处解析在除去0)(zzf（2分）2．计算积分cdzz，其中C是以1,121zz和iz3三点为顶点的三角形边界。解cdzz333221zzzzzzdzzdzzdzz（2分）101011)1)()1[()1)()1[(dyiyiydyiyiyxdx（2分）iii20（2分）3．求函数ttetft2sin)(3的拉氏变换。解42]2[sin2stL（2分）4)3(2]2sin[23steLt（2分）《复变函数与积分变换》试卷答案第3页（共7页）]4)3(2[]2sin[23stteLt22]4)3[()3(4ss（2分）4．求函数2)1()(sssF的拉氏逆变换。解22222)1()1()1()1()(sssssssF12)1(11)1(12)1(222sssss（4分）])1[()]([211ssLsFL]12)1(11[21ssLttetet2)(（2分）5．计算积分3342215))1()1((zdzzzzI解,3,2,1,001014242kezizik的奇点为，的奇点为个奇点有在63z（2分）]),([Rei2]),([Rei2I61kzfszzfsk《复变函数与积分变换》试卷答案第4页（共7页）]0,1)1([Rei22zzfs（2分）]0,)1()1(1[Rei23422zzzsizzl2]0,)1()1(1[imi234220z（2分）三、计算27))41ln(1sin1(zdzzzI的值（8分）解三个一级极点，有，在的奇点为04sinz1zk，一个一级极点的奇点）（04z1ln1（2分）），，（）（10k1cosk1]k,sinz1[Reks（2分）4)41ln(lim]0,)41ln(1[Re0zzzsz（2分）iπdzzzIz10))41ln(1sin1(27（2分）四、巳知22)(yxyiuzf是解析函数，0)2(f,求)(zf.(10分)《复变函数与积分变换》试卷答案第5页（共7页）解解析)(zf22222222)(2)()(yxxyiyxyxxviyvzf（4分）222221)()(1ziyxyxczdzzfzf1)()(（4分）又因为0)2(f21c211)(zzf（2分）五、把函数10,)1(1)(2zzzzf在内展开成洛朗级数。（8分）解10,)1(1)(2zzzzf在nnzz)(110（3分）10))(1(11)1(102zznzznn）（逐项求导（3分）2)1(1)(zzzf10))(1(10zznnn（2分）《复变函数与积分变换》试卷答案第6页（共7页）六、计算定积分20sin21id。（10分）解令,,izddzeziizz2sin120sin21id=12)1(1zdzzzi（4分）若012zz，则有251z两个零点，仅有251z在1z内51]215,11[Re2zzs（4分）20sin21id52（2分）六.利用拉氏变换求微分方程02yyy，满足边界条件2)1(,0)0(yy的解.(9分)解设)()]([sYtyL0][])2(][yLyLyL0)()]0()([2)0()([2)0()0()(2sYyssYdsdyssYysysYs（3分）代入得2)1()0()(sysY取逆变换tteyty)0()(（3分）令0t代入eyy)0()1(2ey2)0(（2分）所以tteety2)(（1分）七．设),(yxuu是调和函数且非常数函数，证明2u不是调和函数。（5分）《复变函数与积分变换》试卷答案第7页（共7页）证：因为u是调和函数02222yuxu则xuuxu2)(2222222)(2)(xuuxuxuyuuyu2)(2222222)(2)(yuuyuyu（4分）0)(2)(22)(22)(2)()(222222222222yuxuyuuyuxuuxuxuxu所以2u不是调和函数（1分）