复变函数与积分变换试题及答案20

1复变函数与积分变换试题与答案1.（5）复数z与点(,)xy对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。2.（6）请指出指数函数zew、对数函数zwln、正切函数zwtan的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。3.（9）讨论函数22i)(yxzf的可导性，并求出函数)(zf在可导点的导数。另外，函数)(zf在可导点解析吗？是或否请说明理由。4.（7）已知解析函数vuzfi)(的实部yxyu233，求函数vuzfi)(的表达式，并使0)0(f。5.（6×2）计算积分：（1）Cnzzz10)(d,其中C为以0z为圆心,r为半径的正向圆周,n为正整数；（2）3||2d)2()1(ezzzzz。6.（5×2）分别在圆环（1）1||0z，(2)1|1|0z内将函数2)1(1)(zzzf展为罗朗级数。7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。(1)3sin)(zzzzf;(2)zzzfsin1)(2;(3)11e)(zzzf.28.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。9.（6分）求将上半平面0)Im(z保形映照成单位圆1||w的分式线性函数。10.（5×2）（1）己知F)()]([Ftf，求函数)52(tf的傅里叶变换；（2）求函数)i5)(i3(2)(F的傅里叶逆变换。11.（5×2）（1）求函数)2(e)(2tutft的拉普拉斯变换；（2）求拉普拉斯逆变换L-1]54[2sss。12.（6分）解微积分方程：0)0(,1d)()('0yytyt。答案1.（5分）请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。(cossin)izxiyreri23kizrez：,rArgz2.（6分）请指出指数函数zew、对数函数zwln、正切函数zwtan的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。指数函数zew、对数函数zwln、正切函数zwtan的解析域3分别为：整个复平面,无界开区域；除去原点及负半实轴，无界开区域，；除去点2zk，无界开区域。3.（9分）讨论函数22i)(yxzf的可导性，并求出函数)(zf在可导点的导数。另外，函数)(zf在可导点解析吗？是或否请说明理由。解：2200uvuuxyxyyy，,uv可微所以xy时函数可导，且()2xyfzx。因为函数在可到点的任一邻域均不可导，所以可导点处不解析。4.（6分）已知解析函数vuzfi)(的实部yxyu233，求函数vuzfi)(的表达式，并使0)0(f。解：3222323232323236,33,3()3i(3)(0)00()3i(3)uyxyuvuvxyyxxyyxvxxycfzyxyxxyicfcfzyxyxxy5.（6×2）计算积分：（1）Cnzzz10)(d,4其中C为以0z为圆心,r为半径的正向圆周,n为正整数；（2）3||2d)2()1(ezzzzz。解（1）设C的方程为i0erzz)π20(,则π20)1i(1i10deei)(dnnCnrrzzzπ20ideinnrπ20d)sini(cosinnrn所以iπ2d)(d010CCnzzzzzz（当0n时）0)(d10Cnzzz（当0n时）。（2）3||2d)2()1(ezzzzz21|2|221|1|2d)2()1(ed)2()1(ezzzzzzzzzz21|2|221|1|2d2)1(ed)1(2ezzzzzzzzzz221)1(eiπ2)'2e(iπ2zzzzzziπ)ee2(92iπe92iπe9422.6.（5×2）分别在圆环（1）1||0z，(2)1|1|0z内将函数2)1(1)(zzzf展为罗朗级数。5解：（1）02)'()'11()1(1nnzzz)1|(|0znznn,)1|(|)1(11)(112znzzzzfnn.(2))1|1(|1)()1(11110zzzznnn,022)1()1()1(1)1(1)(nnnzzzzzf)1|1(|)1()1(02zznnn.7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。(1)3sin)(zzzzf;(2)zzzfsin1)(2;(3)11e)(zzzf.解：（1）0z为)(zf的可去奇点,0]0),(Res[zf;（2）0z为)(zf的三阶极点,πkz)21(,,k为)(zf的一阶极点,61')'sin1(lim!21]0),(Res[230zzzzfz,2π2)π()1(cossin21]π),(Res[kzzzzkzfkkz;（3）1z为)(zf的本性奇点,011)1(!1)11(ennzznzz,23]1),(Res[1czf。8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。6分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性的映照特点，指数函数具有将带形域映照为角形域的映照特点，幂函数具有将带形域映照带形域的映照特点。9.（6分）求将上半平面0)Im(z保形映照成单位圆1||w的分式线性函数。解：000(Im()0)izzwezzz10.（5×2）（1）己知F)()]([Ftf，求函数)52(tf的傅里叶变换；（2）求函数)i5)(i3(2)(F的傅里叶逆变换。解（1）F)]([batf)(e||1iaFaab,F21)]52([tf)2(ei25F;（2）i51i31)(F)(tfF-1]i31[F-1]i51[;0,0,0,ee53tttttt00iie|e,11.（5×2）（1）求函数)2(e)(2tutft的拉普拉斯变换；（2）求拉普拉斯逆变换L-1]54[2sss。解（1）4e)(sFLsttu24)2(2ee)]2([eL)]([e2tut72e)2(2ss;（2）L-1]54[2sss=L-1]1)2(22[2ss=te2L-]12[2ss=te2L-1]1[2ss2L-1]11[2s=te2（ttsin2cos）。12.（6分）解微积分方程：0)0(,1d)()('0yytyt。解：ssYssY1)(1(s),11)(2ssY,ttysin)(。