复变函数习题答案第4章习题详解

1第四章习题详解1．下列数列na是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：1)minian11；2)nnia21；3)11niann；4)2innea；5)21innena。2．证明：1111110aaaaaann,,,,lim不存在，3．判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：1)1nnni；2)2nnniln；3)0856nnni；4)02nnincos。4．下列说法是否正确？为什么？1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；22)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；3)每一个在0z连续的函数一定可以在0z的邻域内展开成泰勒级数。5．幂级数02nnnzc能否在0z收敛而在3z发散？6．求下列幂级数的收敛半径：1)1npnnz（p为正整数）；2)12nnnznn!；3)01nnnzi；4)1nnnize；5)11nnznich；6)1nninzln。7．如果0nnnzc的收敛半径为R，证明0nnnzcRe的收敛半径R。[提示：nnnnzczcRe]8．证明：如果nnncc1lim存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径nnzc；111nnznc；1nnznc。39．设级数0nnc收敛，而0nnc发散，证明0nnnzc的收敛半径为1。10．如果级数0nnnzc在它的收敛圆的圆周上一点0z处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。11．把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径：1)311z；2)2211z；3)2zcos；4)shz；5)chz；6)22zezsin；7)1zze；8)z11sin。12．求下列各函数在指定点0z处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：1)11zz，10z；2)21zzz，20z；43)21z，10z；4)z341，iz10；5)tgz；40z；6)arctgz；00z。13．为什么在区域Rz内解析且在区间RR,取实数值的函数zf展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？14．证明在zzzf1cos以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为20221dncncoscoscos，,,,210n。[提示：在公式844..中，取C为1z，在此圆上设积分变量ie。然后证明nc的积分的虚部等于零。]15．下列结论是否正确？用长除法得4321zzzzzz3211111zzzzz因为011zzzz所以0111143232zzzzzzz16．把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：1)2112zz，21z；52)211zz，11z，110z；3)211zz，110z，21z；4)ze11，z1；5)izz21，在以i为中心的圆环域内；6)z11sin，在1z的去心邻域内；7)4321zzzz，43z，z4。17．函数ztg1能否在圆环域RRz00展开成洛朗级数？为什么？18．如果k为满足关系12k的实数，证明02211nnkknkcossinsin02211nnkkknkcoscoscos[提示：对kz展开1kz成洛朗级数，并在展开式的结果中置iez，再令两边的实部与实部相等，虚部与虚部相等。]19．如果C为正向圆周3z，求积分Cdzzf的值。设zf为：1)21zz；62)zzz12；3)211zz；4)21zzz。20．试求积分Cnndzz2的值，其中C为单位圆1z内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。