复变函数第七章__傅立叶变换_1_

1第七章傅立叶变换傅立叶变换和拉普拉斯变换是最常用的两类积分变换。注：积分变换中虚数单位一般记成j，即12j§7-1傅立叶积分和傅立叶变换的概念一、主值意义下的广义积分设函数tf在任何有限区间上可积，若极限dxxfMMMlim存在，则称在主值意义下tf在区间,的广义积分收敛，记为：MMMdxxfdxxfVPlim..若dxxf收敛，则dxxfVP..收敛，并且当它们都收敛时，二者之值相等。但反之不成立，即dxxfVP..收敛，dxxf不一定收敛。注：后面遇到的广义积分都是在主值意义下的广义积分，为简便起见，我们采用普通意义下的广义积分的记号来表示主值意义下的广义积分，即dxxfVP..记成dxxf，简称广义积分。二傅立叶积分定理和傅立叶变换的概念傅立叶积分定理：若函数tf在区间,上满足下列两个条件：（1）tf在任意有限区间上满足狄立克莱（Dirichiet）条件；即tf在任意有限区间上连续或有有限个第一类间断点，且至多有有限个极值点。（2）tf在区间,上绝对可积，即dxxf收敛。则含参变量的广义积分：dtetfFtj（7-1-1）收敛且tf在的连续点t处有：deFtftj21（7-1-2）即：dedeftftjj21（7-1-3）在tf的间断点t处，式（7-1-2）和（7-1-3）右端应为0021tftf。式（7-1-3）称为函数tf的傅立叶积分公式（简称傅氏积分公式）。2注意：tf满足傅氏积分定理条件时，从公式（7-1-1）和（7-1-2）可以看出tf和F通过指定的积分运算可以互相表达。式（7-1-1）叫做tf的傅立叶变换式，可记为：F[f(t)]=dtetfFtj(7-1-6)这种积分运算叫做取tf的傅立叶变换，F叫做tf的象函数；（7-1-2）式叫做F的傅立叶逆变换式，可记为：FdeFtfFtj211(7-1-7)tf叫做F的象原函数，这种积分运算叫做取F的傅立叶逆变换。例1求函数1011tttf的傅立叶变换，并推证：101412cossin0tttdt解证：F[f(t)]=dtetfFtjsin21111tjtjedte；根据（7-1-7）式，并利用奇偶函数的积分性质，可得在tf的连续点处（即1t及1t时），有FdeFtfFtj211dtdtjtdetjcossin221sincossin221sin221在间断点处（即1t时），有321200cossin221tftfdt从而得到含参变量广义积分的结果101412cossin0tttdt并且由它可以推得0t时，有2sin0d，这是著名的狄立克莱积分公式.例2求函数000tettft的傅立叶变换及其积分表达式，其中0。这个tf叫做指数衰减函数，是工程技术中常碰到的一个函数。解：根据（7-1-6）式，有F[f(t)]=dtetfFtj22001jjdtedteetjtjt根据（7-1-7）式，并利用奇偶函数的积分性质，可得在tf的连续点处（即0t时），有FdeFtfFtj21102222121dtsintcosdejtj在间断点处（即0t时），有2120000sincos1022ffdtt从而得到含参变量广义积分的结果：00200sincos022tettdttt三非周期函数的频谱周期函数的频谱4对一个以T为周期的非正弦函数tf，当它满足狄立克莱条件时，可展开成傅立叶级数：10)sincos(2nnnltnbltnaatf由tf的傅立叶级数知它的第n次谐波)sin(sincosnnnnnnntAtbta(上面等式用三角函数的和角公式得到)其中Tnnn2为第n次谐波的角频，n为相位，22nnnbaA是第n次谐波的振幅，nA为n的函数（离散），它描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况，、称为tf的振幅频谱，简称频谱，所谓频谱图通常是指频谱和振幅的关系图。1．非周期函数的频谱非周期函数可看作周期T时周期函数的极限情形。对于非周期函数tf，当它满足傅立叶积分定理中的条件时，则在tf的连续点处可表示为：deFtftj21在频谱分析中，傅氏变换F又称为tf的频谱函数。频谱函数F的模F称为tf的振幅频谱（简称频谱）。由于是连续变化的，我们称之为连续频谱。例3作单个矩形脉冲函数1011tttf的频谱图解：由例1可知该函数的频谱函数为sin2F，由振幅频谱sin2F，可作频谱图如图所示（其中只画出0的部分）tf-11tF20π2π