复变函数第三章习题解答

习题三解答1、解：ititdtiidtitdzziiItit：zii12/21201211,11,)1(于是的直线段的参数方程为到iedeidteedzziiI，tezititititit2/232232223,)2(223于是到从方程为单位圆的左半圆的参数ieededzzI，tezitititiiit2/)(20,)3(2222到从方程为单位圆的右半圆的参数2、解iiittidttitidttitidtetizdzI，tezitlit00/sin21sin4121cossin2cos1sincos)(cosRe20,12222222到从单位圆的参数方程为22112112122211221121122112121Re,Re2121/2121)(11ReRe10,1)2(zxzxxxzzxtttxzzdtxtxzzdtzztztzzdzIttztzzzzl其中到从的直线段的参数方程为到从3、证明0)(lim0|)(|lim)(02)(2)()(0rrrKrKrKdzzfdzzfrrrMrrMdzzf，rzzz，frr即从而可积上连续在时当4、证明：)(zf在rzz内解析，从而连续由上题可知0)(limrKrdzzf因此要证明,0)(dzzfrK只需证明rKrrdzzf)()(0与r无关.对任意的rrr21,，不妨设21rr，则由题的条件zf在rzzr1上解析由复围线的Cauchy积分定理dzzfdzzfrrKK)()(21从而证明了rrdzzfrK当)(时积分值与r无关5、01141111)(42||4dzzr，zzzfz知由题且内解析在6、证明：zgzf,在单连通区域D内解析，，是D内两点dzzgzfdzzgzf)(dzzgzfzgzfdzzgzfzgzfdzzgzfzgzfdzzgzf//7、解：4/2,,14/2/)arg,0(,1120,:)(1,0,arg0122222222222222222222iiiiciiiiiciikatgzikededeiezdzezCiiedeideiezdzzkez，ezcikzezz：z，z，于是上的值为的那支在取则的那支为上在分支就能分成两个单值解析平面割开沿负实轴iidieeideiLnzdzIiziLnzciLniidiieizddziLnzdzIzi，Lnzezciiicici202/2222arg,21202/argarg20,:,0ln22222222上在任意固定的是上在支割正实轴8、证明：Ekkkk：，k，kizk，kzarctgxxdxzdzii，,44,,4|1121221110210210积分值为故在一般情况下则积分值为圈转若绕则积分值为圈转若积分绕则由柯西定理得且不绕过如果积分路径不经过Ekkzdz,41210即9、21111111111110,)1()1(::)3(2|sincos1max1sincos22,sin,cos:)2(221max21,11,:1222222222222222222222222222222dzzlcttitizcttititizcddyiyxdyiyxyxiyxcyxcliyxdziyxlctyxiyxciyxtitzc：cccccc的长度上在证明上则在证明：的长度为而上的模在证明10、证明：020020000002lim2lim22frefdfrefdfreffref，r，，，zfdfrefiririiia有时当在原点邻域内连续考虑11、解：izzidzzzzzzzdzdzzdziiidzizdzizizdziieiedzzezzzzzzzzzzz5|222)21(222024023022212121212222/212111212222221012、证明：dnezinznzeninzidenzidnezinzncnnznnzcnnznc!21!!0|!2!21!21!21222113、解：iiiifzzizizfzzizidzzfzzz13627162)81(3/17621732/1732173,3/2223有14、证明：!!2!!122!2!2!22cos!121222cos21,!1212221!2!121220!12122!2122210!221,1220220221212424222122nnnnndnnnnnidizdzzzeznnnnnizdzzznnnnnnfzznnnnnznnnzzffnizdzzzCandyzzfnnnnnnzinznnnnnzn则令故由二项式公式有积分公式由令15、证明：,2,111110,11122010,20111111111nnennfnnrrrnzzdzndzzzfnf，rdzzzfinfcandhgnnnnrznrznnrzn有取得由积分不等式积分公式由16、证明：时当时当即可只要证明积分定理由复围线111limlim,,0,0)()(21rrrzAzzf，rzrAzAdzzfi，CanhyrkrrAdzzfidzzAzzfdzzdzzfiAdzzfikrkrkrkr21211212117、证明：。，dzfi，DzzffCdzzCidzfiznCzCCfzRfzfdzfiCanchy，，CP，LPCRz：P，zD，zLzPzPznLzzz即得所要结果由由设即得所要结果由则内洛朗展式设为在积分公式则由分等区域的构成复围线的内部及其内部全含于使作充分大的圆周为以设323021122122121101)(211)1(lim18、证明：zfzfzgzgDzLnf，Dzf1,)()(1111则内有一解析分支在且不等于零内解析在单连道区域zfzgzfezfezfzgezfezgzgzgzg101zfzfzfzfezg内解析在其中常数DLnczgzgeCezfDzCzfezgzgzg111)(0解析即的常数不为则则内的一个解析分支在表示设zhczhzfzhzfzhcczfzhzfzfzhzfzfzhqqzfzhzfzfzhzqhzfzhzfzfzfzhzqhqzhzfzfzhzfzhzhqzfzhzfzfzhqzfzfqzh，Dzfzhqqqqqqqqqqz1111111111211112111111111111110101111111219、证明：zRzQzpdtztzptptptfidtzttptfzpidtzttptfzptftptfzpizfdtzttfizfD，zDzfnzR。nzztzptpzptpztcccc2112112121211/1由柯西积分式上解析在的一个多项式是次数不超过从而次的多项式的不超过是关于zRz，RzQzQ，zRz，RzQzQnzRR（（z，D（zQz，QnzpzRzRzQzQzpzRzQzpzRzQzpzRzQzpzfzRzQzpzfzRnzQD111111111111110011即只能次数不超过而上在解析次的次数为即于是又满足的多项式多次数不超过内解析的函数如果在