复变函数试卷七-2010120921230963

《复变函数》试卷七一．填空题（20分）1．已知z＝1－I，则argz＝(－πargz≤π)，|z|=，z=2．变换W=Z3将z平面上的区域D变换为W平面上的区域G：，其中D：0argz33．sin2z＋cos2z＝1在直线z＝x，(y=0)上成立，则由定理，sin2z＋cos2z＝1在全平面上也成立4．设f(z)=2z4－z3＋11z2－1，f(z)在|z|2内有个零点，f(z)在2≤|z|3内有个零点，f(z)在3≤|z|＋∞内有零点，f(z)在z＝1处的旋转角为，伸缩率为。5．幂级数z＋z4＋z9＋…＋2nz＋…的收敛半径为6．设z＝x＋y，w＝2ze，则w＝，Imz＝7．设f(z)在z＝0的去心邻域内的罗朗展式为f(z)＝nnncz，则Re()zsfz＝8．叙述解析函数的最大模原理9．在原点解析，而在z＝1n（n=1，2，…）处取值为f(1n)=211n的函数为二．判断题（20分）1．设a是z平面上一点，a为函数f(z)的可去奇点，则Re()0zasfz（）2．如果函数f(z)在某有界区域D内解析，且在D内有一列零点，则f(z)在D内恒为零（）3．如果f(z)＝=u(x·y)+iv(x·y)中的u(x·y)与v(x·y)在区域D内满足C－R条件，则f(z)在区域D内解析（）4．设f(z)在区域内解析，C是D内任一曲线，则cf（z）dz=0（）5．设函数f(z)在点a（≠∞）处解析，则总存在R0，在|z－a|R内f(z)能展幂级数0()nnncza（）6．非常数的整函数必为无界函数（）7．设f(z)在区域D内单线解析，则f(z)在D内必保形（）8．sinz和cosz都是z平面上的有界整函数（）9．若函数f(z)在a点可导，则f(z)在a点解析（）10．设f(z)沿围线C的积分为零，则C所包围的区域D为单连通区域（）三．计算下列各题（20分）1.求极限2201coslimzzz2.求积分I＝Imczdz，其中C为0到1＋i的直线段3.求积分I＝23(21)(1)czdzzz，其中C：|z|＝24.求积分I＝20sin54cosd四．（10分）叙述代数学基本定理并利用复变函数论的方法证明五．（10分）试证明在线性变换下，四点的交比不变六．（20分）1．求将上半z平面保形变换成上半w平面的线性变换w＝L(z)，使合条件L(i)＝1＋i，L(0)＝02．求将2,,2i对应变成1,,1i的线性变换试卷七参考答案一、填空题1、,2,14i2、0argw3、解析函数唯一性4、2，2，0，arg'()0fz，'()28fz5、16、22xye，22sin(2)xyexy7、1c8、设()fz在区域D内解析且不恒为常数，则()fz的最大值不可能在D内达到9、221zz二、判断题1－5√×××√，6－10√√×××三、计算题1、解：02cossinlim12zzzIz2、解：:(1)Czit01tmzIt(1)dzidt101(1)2iItidt3、解：3()(21)(1)zfzzz，则1122ReRezzIisfzsfz'2112332()4121zzzzizz221123133412204493121zzziizz4、解：令ize，则22201sin1154cos2252zzIddzzzz令221252zfzzzz，则220011Re2252zzzsfzzzz211222011Re222sin054coszzzsfzzzId四、①在z平面上，n次多项式101nnnpzazaza至少有一个零点.②证：反证法，设pz在z平面上无零点.由于pz在z平面上是解析的，1pz在z平面上也必解析.下面证1pz在z平面上有界，由于10limlimnnnzzaapzzazz1lim0zpz故存在充分大的正数R，使当zR时11pz，又因1pz在zR上连续，故可设1Mpz（正常数）从而，在z平面上11Mpz，于是，1pz在z平面上是解析且有界的.由刘维尔定理，1pz必为常数，即pz必为常数.这与定理的假设矛盾.故定理得证五、证：设,1,2,3,4iiiazbwiczd则ijijijadbczzwwczdczd因此313141411234123442324232,,,::,,,wwzzwwzz六、1．解：设所求线性变换wLz为azbwczd，其中,,,abcd都是实数，0adbc由于(0)0,L必0b，因而0a.用a除分子分母，则wLz变形为zwezf其中,cdefaa都是实数，再由第一个条件得1iieif即feifei所以0,1fefe解之得12fe故所求得线性变换为1122zwz，即21zwz2．解：所求线性变换为1,,1,2,,2,iwiz即111222::12wzwiizii化简为11324wizwizi于是132111324iz化简后得632ziwiz