复旦大学线性代数试卷

第1页（装订线内不要答题）一、ｎ+1阶行列式计算：（共20分，每小题10分）（1）xnxxAn111121111111111（2）xaaaaxaaaaxaaaaaBnnnn2101020210二、假设BA,为n阶矩阵，且ABIn可逆，其中nI为n阶单位阵，证明：BAIn也可逆，并求1)(BAIn(14分)三、设A101020101，（1）求正交阵Q使得AQQT是对角阵；（2）计算2000A。（共14分）四、设有两个方程组：（I）3314623214321421xxxxxxxxxx(II)txxnxxxxmxxx434324321211452(1)求出方程组（I）导出的齐次方程组的基础解系，并求出方程组（I）的通解；（2）假设方程组（I）与方程组（II）同解，求出nmt,,。（20分）第2页五、设V是数域P上的n维线性空间，,是空间V上的线性变换，在数域P上有n个不同的特征值，证明：（1）的特征向量都是的特征向量的充要条件是；（2）若，则是12,,,,n的线性表示，其中表示V上的恒等变换。（20分）六、设实二次型2212222121),,,(tsssnlllllxxxf，其中),,2,1(tsili是nxxx,,,21的一次齐次式，证明：),,,(21nxxxf的正惯性指数sp，负惯性指数tq。(12分)