复杂数学问题的思考路径

1复杂数学问题的思考路径历年中考试卷中至少有一道比较复杂的几何证明题或计算题，且大多是有关圆的问题。这些问题虽然复杂，但只要掌握了思考的方法，其实并不难。例1.（2003年天津市中考题）已知：如图1所示，圆O1与圆O2外切于点A，BC是圆O1和圆O2的公切线，B、C为切点。图1（1）求证：ABAC；（2）若rr12、分别为圆O1、圆O2的半径，且rrABAC122，求的值。思考路径：（1）证明垂直的方法很多。对于相切两圆最先想到的辅助线是公切线，作出公切线后可发现OA=OB，OC=OA，从而OA=OB=OC。由此想到，直角三角形斜边的中线的性质，进而想到逆定理。这就找到了证明的方法。当然，利用角的关系也可以证明。这里用到的基本定理有：①切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。②圆周角定理推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。证明：（1）过点A作两圆的内公切线交BC于点O。OA、OB是圆O1的切线，∴OA=OB。同理OA=OC。∴OA=OB=OC于是，△BAC是直角三角形，BACABAC90°，（2）连结OO1、OO2与AB、AC分别交于点E、F。OAOBOO、是的切线，1OOAB1同理OOAC2根据（1）的结论ABAC，可知四边形OEAF是矩形，故有EOF90°连结OO12，有OAOO12。2在中，于是又是圆的弦切角，在中，RtOOORtOAORtOAOOAOAOAOAOAOAOArrrOArACBOACBAOORtOAOAOOOAOA1212212121222222222222~..,tanABACACBAOOtantan22例2.（2003年湖北黄石市中考题）中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌，我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学。1400多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形（如图2所示）。经测量，桥拱下的水平距拱顶6m时，水面宽34.64m。已知桥拱跨度是37.04m，试用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高（取14737042033464..，）。图2思考路径：解决此问题的关键是根据赵州石拱桥的实物图画出几何图形。把实际问题转化为数学问题，用所学的数学知识分析问题，解决问题。这里用到的基本定理有：垂径定理，勾股定理。解：如图3所示，设桥拱所在圆的半径为R。图3在RtOECOCRmOERmCEm中，，，()6103()()RRR610328222，解得3又在中，，拱高RtOFAOARmAFmOFOAAFmhROFm287721722()()许多中考题都源于课本，有的是课本上的例题，有的是变换了例题或习题的条件或结论，有的是几个例题或习题的组合，以上两题都是课本习题的演化。因此，解难度较大的习题首先应从研究课本习题入手，积累方法和经验。