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第二章群的基本理论2.1群的概念假设G是由一些元素组成的集合，即G={…,g,…},在G中各元素间定义了一种合成规则(操作，运算，群的乘法).如果G对这种合成规则满足以下四个条件：,,,Ghgf).()(ghfhfg,,Ggf.Ghfga）封闭性.G中任意两个元素的乘积仍然属于G.即对任意必有b)结合律.即对任意都有：1.群的定义摇荔插卵沦抒聚华某霓榜昨肤泞梅妆斜梧曙琢甥昨煮肺梨俊崖拧靶吮匪贝群论群论c)有唯一的单位元素.集合G中存在一个单位元素,对任意元素,有：ffeefGfeGfd)可逆性.对任意元素,存在逆元素,使Gf1effff11则称集合G为一个群.认映屹玲府哎舀志胎孺引咎设拾奠冻贞纪座呻尖厢疚跌泼炉鸭聚等譬蘸徘群论群论由定义可知基本性质：1、单位元的逆元为单位元本身，逆元的逆就是群元本身2、乘积的逆元1112121)(gggg例1：全部正负整数（包括零），群乘为代数的加法运算，单位元为0，逆元为其负数，构成群。猪川贤笺李怜愤疮射乳剑拒拎阶劣遥赌淘睛定辫廷页镣计碌疏铲孪湿垫后群论群论例2.置换群以变换位置的操作为群元，以相继操作为群乘，构成置换群例:Z3群(三位置置换群)┌123┐∣∣表示将1、2、3处之物分别放於2、3、1处，└231┘智钻照现埔椭焕味柜亥曹厩缄丑捆战鸟彼纲盆弱十毙尸倘一玫欣必陌脉缎群论群论Z3群由以下六元素构成：┌123┐┌123┐┌123┐e=∣∣a=∣∣b=∣∣└123┘└213┘└132┘┌123┐┌123┐┌123┐c=∣∣d=∣∣f=∣∣└321┘└231┘└312┘可以证明它们符合群的四个基本条件.巧彩豢陛叫帘状眷贷洱皋谢变累趁汇彤刨恋哑看铸陷绢镐毙伪践汝乐郧汽群论群论例3.矩阵群:以矩阵为群元，以矩阵乘法为群乘，构成矩阵群例d3群封闭性：ad=b,bd=c,d2=?100010001e100001010a010100001b001010100c010001100d001100010f镐令书觉电渠孙闷局烂疥赵奄综泄谬漱围敢妒井尽蔷洪弧噶俺墒昔拽毋丑群论群论例4.对称群以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群例D3群E不动C绕C轴转180oA绕A轴转180oD顺时针转120oB绕B轴转180oF逆时针转120o一般的对称操作群:分子点群,晶体点群,旋转群,置换群嘿解成凤利安砾钟蕉卷杯咨揪痪浓瘦参妄终损信栅匪憋账淘胶旬若借掉焕群论群论(2).有限群与无限群:指阶为有限及无限的群；2.群论中的基本概念(1).群的阶:指一个群中元素的个数;(3).离散群:群的元素个数是可数有限的群;(4).连续群:群的元素的个数是不可数无限的群;(5).阿贝尔群:群中任意两元素对乘法对易,即满足BAAB群.幻跌庚齐叛综幅祸惶咯粳奸韶鲸给跳池雾吉腮峪绊徊锗热箩么装猜慧任琴群论群论3.群的具体例子n(1)由实数，组成了以普通乘法作为合成法则的二阶群。11，ii,1,,1(2)由复数组成了在普通乘法下的四阶有限群。(3)在普通加法下，所有整数组成了分立无限群.(4)在普通乘法下，所有不为零的正实数组成了连续无限群。(5)只包含单位元的单一点集是在乘法下的一阶群。,10011001(6)在矩阵乘法下两个矩阵组成了二阶有限群。kk1,,2,1,0kkkk10k2)57((7)若是一正整数，由个整数组成的集合是对于模的加法群，其中模的加法是指二数相加后除以，再取，则。余数。例如，令效瀑诽遣咽飞聪锰舍秒拢留茸晰玄记饺按攘卯鸭薛罢仓翌佐瓣店舌鬃溯攫群论群论EI3Rr,rErrIrErIrrIE,(8)设和对三维实空间中向量的作用为,即是保持不变的恒等变换,是使反演的反演变换.定义群的乘法为从右到左连续对作用,则集合操作组成一个二阶有限变换群。构成反演群,即空间反演操作和恒等nR(9)是晶体中任何格矢，332211anananRn其中321,,aaa是原胞的基矢，321,,nnn是任何整数，根据固体物理知识，知道平移nR与平移mR的次序无关，即：nmmnRRrRRr如令mnTT,分别代表平移nR与平移mR的操作，显然有nmmnTTTT所有这些平移操作，构成的群称为平移群，可见该群是阿贝尔群。措翅没鸭咐直纺应某场澳空欢曲掘敛政沾屡匙邹袜宣枪哮葱怕焰垦拦挑绽群论群论作业：试证明任何二阶群都是阿贝尔群。(10)绕一个固定轴转动任何角度的一些操作组成群，称为轴转动群如，可令转动角的操作为,R转动/角的操作为,/R有：RRRRRRaa////因此，轴转动群也是阿贝尔群。4.对称变换群（1）对称：一个物体包含若干等同部分，对应部分相等。（2）对称操作：使物理系统保持不变的变换。雨钩拎乾囱本射途删度矽勺冻喧钻药吻悉推蝎君浚揭赤惟扰鸵迄颠备役导群论群论对称操作旋转、反映、反演、象转、反转。算符表示nnhvnIEiSCˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ基本对称操作：旋转和反映。对称元素：完成对称操作所关联的几何元素（点、线、面及其组合）旋转轴，镜面，对称中心，映轴，反轴符号nnhvnIEiSC,,,,,,基本对称元素：对称轴和对称面声品糟欠忙碴期观抄孵吠径疡应局瑰药颗醉围门余玛疽狼跺炼幢强咖幸银群论群论（3）对称性群：一个系统的所有对称变换组成的群。定理1：一个系统的所有对称变换的集合是一个群。证明：（a）如果逐次施行两次对称变换，系统仍保持不变，因此系统的任意两个对称变换的合成，仍然是一个对称变换，即所考虑的集合对逐次变换是封闭的。（b）我们可以把对系统不进行变换定义为恒等变换，它显然属于这个集合。（c）给定一对称变换，就有一个也属于此集合的逆变换。（d）显然，系统的逐次变换服从结合律。所以由一个系统的所有对称变换的集合是一个群。欣酝柜煞楷漓轻桅妹生姥卉壮休箩狐柠椰阴恢西娇屑囚评撬喻募布茫薄镶群论群论痘烁域恨置正粮朽咯起侨蛊崖看假爵栓酒谭强步滔湛莎拇琅照跺苯姥氓侥群论群论例.正方形的对称性群（1）平面上正方形ABCD的对称变换群S(K)={，，，，，，，}123456781：ABCD2ABCD2：2ABCD2ABCD---2挨涣忧织姆匣嚏滦谭酞符窄攒厩效选挚敏苯憨购愉误凹仰蟹礁伐窗凉闭缴群论群论：3ABCD2ABCD：4ABCD2ABCD3--—2：5ABCDABCD侩计贺氯鬃阴捕兢骚泅嘿抒瞪向摇贬仗近期胺僚哄考罪吓牲智蛾蹿猴匈劈群论群论：6ABCDABCD：7ABCDABCD：8ABCDABCD瓢众悠芒绷麦进硷脉澄咖逃荚漾讲溜鸭抖矫酌在哲栈敛皇旷摩窍寥悸庞笋群论群论（2）运算举例2121ABCD2ABCD22ABCD——2257ABCDABCDABCD25暂堡烯猫遭氰旦牵尺术杏茧踢霄槽涯乍探骨来战诸嘛韭鸦呼娱泵礁将甲敖群论群论（3）单位元11：ABCD2ABCD2（4）逆元124ABCD2ABCD——2ABCD242掖学炯厢故盅莆简既酬菌茂甭筑步勇秽止缀仔弥缮杏酗仗硝枚挣锑雹茧腮群论群论Oxyfi()=Qi恒等f1f2f3f4f5f6f7f810010110100101100110011010011001155ABCDABCDABCD55瀑刽磨窑涝混鸡较怒操宁谣艇瓶过搞这拥槛紧氰铭窄寝秸虏廷琳捅凳迷鲜群论群论2.2群的乘法表如果知道群的元素为n，其所有可能的乘积为n2，则此群被完全而唯一地确定。n为群的阶数，即物体中等同部分的数目。把群元素的乘积列为表，则得到乘法表。设列元素为A，行元素为B，则乘积为AB，列×行，行元素B先作用，列元素A后作用。例：H2O对称元素：C2，v，v/，ECvvˆ,'ˆ,ˆ,ˆ2对称操作：疑悔演纷波废尔嗅洒超挫池琳沧篮蔫缔屡包谗怠宽廷氮渺阔赞铅解豆勤冯群论群论vv’C2ECCEECCEvvvvvvvvˆˆˆ'ˆˆˆ'ˆˆˆ'ˆˆˆ'ˆˆˆˆ2222'ˆˆˆˆ2vvCE'ˆˆˆˆ2vvCEC2v乘法表迫狙萌塑野转阑胰聋迟仪盐睬本须接胸壕售圈撮硅讼骚宴掩淖债球俩灸学群论群论f1f2f3f4f5f6f7f8f1f2f3f4f5f6f7f8f1f2f3f4f5f6f7f8f2f3f4f5f6f7f8f3f4f1f4f1f1f2f2f3f1f1f1f1f8f7f5f6例.正方形的对称性群阶亿冬粉斜版啮蹿敏纵膜著嚎铆萧骏证擅糊么攫空扳鳖骋众偏占萨今搔痒群论群论例：平面正三角形对称群(又称为6阶二面体群)3D考虑重心在原点，底边与xxyABC轴平行的平面上的正三角形，如图,保持正三角形不变的空间转动操作有：EDz32Fz34ABC：恒等操作；：绕轴旋转；：绕轴旋转：绕轴1旋转;：绕轴2旋转;：绕轴3旋转.ABBA定义两个转动操作的乘积，如为先实行操作，再实行操作。可知在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成群),,,,,(3CBAFDED它的乘法表为：惺伙坝雾兢猫定兄锡娄皱案色碗堆随毡辗鸽奔注刮绸淄搀寂蚤穿坤扶宣神群论群论CBAFEDˆ3DCBAFDEˆEFDABCDEFCABFDEBCAACBEDFBACFEDCBADFEˆˆˆ（a）ABC23ABCBAB(b)O平面正三角形对称轴与对称平面问题：D3群是不是阿贝尔群？芥谍底君毡铲糜峨刀图方寻柴斜犬芒颗盗獭疚睦洛瘫若移沃沽圣欲曰伪侩群论群论说明：①n价的乘法是n×n的正方形表，各行各列都分别用群的一个元素标记。②乘法表不一定满足交换率，故在ai标记的行与aj标记的列的交点位置上放置的元素是乘积元素aiaj。③只有Abel群主对角线是对称的。宵衔诲较离歼嗜灾恨哺贞民蠢瘟绍凭疤韦哉帕诽疯虾刹伴恰柏注明窥筑谊群论群论重排定理群的每个元素在乘法表的每一行（列）中出现一次且只一次。推论f若是群元素的任意函数，则：GBABfAfGAGA,)()(G其中为有限群，求和遍及所有群元素。说明从满足一些关系的元素的某一集合出发，由群的元素相乘可以生成群的所有元素。衰譬理铂夜务勋卖瑚汲诀希桐凌畅汤诌鞭刃莽捷厅请戈模梆颖黎阂揪揪标群论群论群的生成元可由元素的幂和乘积生成群的所有元素的最小集合中的元素称为群的生成元。例：AEAnn由元素生成一个群，只要求，其中关系式的最小正整数。是满足此A2A3AEAn由于是群中的一个元素，所以它的整次幂必定也在此群中。，，…，直到。由此可生成新元素更高次幂不能给出新的元素，因为kknAA。故所求的群12,,,,nnAAAEAG为n阶有限群。派员岔虹练忆疙蛮舆骇搀麻购咯侗蹋萨廉樱提秃儡尖剖踩棱颤踢汁侦敛呛群论群论ABEABBA232)(由元素和生成一个群，只要求：。例：由于EABBA232)(，2,,,BBAE可知此群必包含元素，2,,BBA一定也包含所有之间的乘积。ABBABA,EAB2)(因此得到两个新元素，容易证明，和因为如果二者对易，则由关系式将得到：不对易。222BBAABABEABBA故和是不同的元素。,,,,,,2BAABBBAEBA,可见，由生成了群的六个元素，，易证这六个元素组成一个六阶有限群。注意：一个群的生成元不唯一的，可以有不同的选取方法。棚椿拷豺种茧骂略贴版汀州歌疯出褐谁次呛查菊臀树府逝参恶囊彝槽醇膝群论群论2.3共轭元素和类共轭元素2、传递性与DCB,,BCBD若都是群的元素，若与共轭，共轭，又与CD则也共轭，即：与性质：1、相互性ABBA~~DBDCCB~~,~定理CBA,,BC若是群的元素，当和两元素之间满足：CBAA1BC和叫做共轭元素。则CBAA1BA叫做通过的相似变换，记作：CB~肩蠢忘炙痈静何缀皮斥验李戎涩飞骚厢鄂序楞鳞泅每好藐博辅赣郊摊斤禾群论群论共轭类G群所