多元函数取得极值的条件

必要条件若函数f(x,y)在点P(x0,y0)存在两个偏导数，且P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则0),(0),(0000yxfyxfyx与驻点充分条件若函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一阶及二阶偏导数，又0),(0),(0000yxfyxfyx与令),(),,(),,(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx则0)1(2BAC时具有极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值。2)2(BAC0时没有极值0)3(2BAC不能确定n元函数取得极值的条件？梯度Tnxfxfxfxf],,,[)(21),,,()(21nxxxfxfn元函数设具有偏导数，nnRxxxx*),*,*,(*21点Hesse矩阵22221222222122122122122)(nnnnnxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxf必要条件若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)的极值点，则0*)(xf一阶条件二阶条件是极小存在二阶连续偏导数，元函数设*)(xxfn半正定且值点，则*)(,0*)(2xfxf公式有，由令显然。证明：TaylordxxRdxfn*,0*)(ddxfdxfxfT)*(21*)()(022nTRddxfd,0*)(2122，取极限得两边同除二阶充分条件则存在二阶连续偏导数，元函数设,0*)()(xfxfn的严格极小值点；是正定时，当)(**)()1(2xfxxf的严格极大值点；是负定时，当)(**)()2(2xfxxf的极值点；不是不定时，当)(**)()3(2xfxxf证明:，则设邻域内任意一点，不妨是设dxxxx**ddxfdxfxfT)*(21*)()(22,,*)()(2则可选择正定二阶连续偏导数，且由于函数xfxf0)*()*,(*2ddxdxUdxT，且使得所以的严格极小值点。是，即)(**)()(xfxxfxf对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点究竟是否是极值点的方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。问题：对于一般的有约束极值问题，取得极值的条件是什么？一般的约束极值问题：元函数都是其中，nxcxfRxmmjxcmixcstxfinejei)(),(,,,1,0)(,2,1,0)(.)(min几个概念：可行域：},,1;,,2,1,0)(,0)(,|{mmjmixcxcRxxXeejin可行方向：],0[,*0,0,*tXtdxRdXxn，使得如果存在设)*,(**XxFDxXxXd记为处的所有可行方向集合在处的可行方向。在是则称(1)指标集},0)(|{)(},,1{},,2,1{IjxcjxImmImEXxjee，令设起作用集处的起作用集。称为在，集合xxIExAXx)()(起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长多么小，都将违背这些约束。对于非起作用约束（ci(x)0），x是否是局部最优解与这些非起作用约束无关。序列可行方向：处的序列可行方向在是，则称和且有使得，和如果存在序列设*0*),2,1(0),2,1(,,*xXdddXdxkkdRdXxkkkkkkn)*,(*XxSFDxX的集合记为处的所有序列可行方向在序列可行方向的性质设ci(x)在x处可微，则有),(XxSFDd)(,0)())((,0)(EjdxcxIjdxcTjTj，则和且有使得，和0,),2,1(0),2,1(),,(kkkkkkddXdxkkdXxSFDd证明公式，有由TaylorxIj),()()()()(0kkTjkjkkjodxcxcdxc0)(dxcTjk，取极限得两边除性质10)(,0)(0)(0)(,dxcxcxcxcEiTiiii故，且，等价于同样可证性质2设fi(x)在x*处可微，且取得局部极小值，则0*)()*,(dxfXxSFDdT，有必要条件,0*)(,0*)(*)(-T)-K),,,2,1(*))(*)(*)((1*))(()(1IixcxcxfmixIExAixcxIEixcxfiiiiimiiii（使得线性无关，则必存在且）的局部最优解，是问题（连续可微。设，设说明线性表示可用*)(*)(xcxfi0)(1xc0)(2xc0)(3xc*)(1xc*)(2xc*)(xf*x1x2xLagrane函数)()()()(),(1xcxfxcxfxLiimiTK——T条件等价于IjxcIjxcEixcxLjjjjix0,0*)(,0*)(,0*)(0)*,(λi称为Lagrange乘子Lagrange乘子法x*称为K——T点一阶条件证明)0*),((*)(*)(i*)(即可取xIIixcxfiixIEi首先证明集合非空*)(1*)(,0*)(xIixcdEixcdiTiT由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解正交。与且则)*)((,0*,EixcddSdi考虑函数方程组准正交基在法空间中任取一组标为空间，维空间，其法空间是生成),1,,2,1(11}*),(,*),({1eieemmnidmnmdxcxce0*)(1,,2,10*)(,,2,1,0)(xxdmnixxdmixcTeTiei存在定理矩阵可逆，根据隐函数处的由于该方程组在Jacobixx*考察方程组*)}(,0*)(;,0*)(|{*xIixcdEixcddSiTiT是SFD(x*,X)的子集220/|)()(ddxxx且满足，必存在解对充分小的),,2,1(,0))((emixc由于）（于是，eiTiTimidxcdxcxxcdd,,2,1,0/*)(*)(]|)([|))((2200）（又因为*)(,0/*)(*)(]|)([|))((2200xIidxcdxcxxcddiTiTi都是可行点从而，所以对充分小的)(,0))((0xxxci,//*))((,)(,0,022ddxxXxkkkkk由于且取)*,(*)*,(XxSFDdSdXxSFDd。于是所以而SFD(x*,X)是闭集，所以S*的闭包cl(S*)SFD(x*,X)，即)*,(*)}(,0*)(;,0*)(|{*)(XxSFDxIixcdEixcddScliTiT0*)(*)(*xfdScldxT，有是局部最优解，所以由于下面证明,0*)(,0*)(*)(1Iixcxcxfiiiiimii且使得必存在),,(*));(,*),(()/,,)((,11112211emnTTTTddDxcxcNddDNNNJdDNJ其中，,0*)(,0*)(*)(1Iixcxcxfiiiiimii且使得假设不存在}0,*),(*)(|{*)(1jijjxIjiimiRxcxcaaWe考虑集合WaadxfdRdWWxfTTn,0*)(*)(，使得必存在离定理是闭凸锥，根据凸锥分。由于显然下面证明d∈cl(S*)),,2,1,0*)(0*)(,0*)(),,2,1(*)(,*)(,0eiTiTiTeiimixcdxcdxcdmiWxcWxc（，于是，于是有*)(0*)(xIixcdiT，同理可证：于是，矛盾，从而0*)()*,(*)(xfdXxSFDScldT,0*)(,0*)(*)(1Iixcxcxfiiiiimii且使得必存在所以定理得证一阶充分条件）的局部严格极小点。是问题（则处连续可微，且在，设1*)*,(0,0*)(*),,2,1)(()(,*xXxSFDdxfdxmixcxfXxTi证明.**,*)()(*xxxxxfxfXxxkkkk，且有使得则存在不是局部严格极小点，如果222*,*/*)(.*/*)(xxxxxxddxxxxkkkkkkk令假设。则)*,(XxSFDd，由于)()*(*)()(kkkTkkkodxfdxfxf矛盾，这与所以0*)(0*)(xfdxfdTT二阶条件线性化零约束方向集设x*是K——T点，λ是相应的Lagrange乘子，d∈Rn。如果则称d是在x*处的线性化零约束方向。在x*处的所有线性化零约束方向的集合记为G(x*,λ)*)(,0*)(*)(,0*)(,0*)(xIixcdxIixcdEixcdiTiiTiT序列零约束方向集设x*是K——T点，λ是相应的Lagrange乘子。如果存在序列dk∈Rn和δk0(k=1,2,…)使得0)*(,0,,*1kkiimikkkkdxcddXdx则称d是在x*处的序列零约束方向。在x*处的所有序列零约束方向的集合记为S(x*,λ)。可证S(x*,λ)G(x*,λ)二阶必要条件设x*是问题（1）的局部极小点，λ是相应的Lagrange乘子。则必有)*,(,0)*,(2xSddxLdxxT阵是其中HessexLxcxfxcxfxLxxiimiT),(),()()()(),(21证明00),*,(ddxSd设，则显然成立。下面假如果则存在序列dk∈Rn和δk0(k=1,2,…)使得0)*(,0,,*1kkiimikkkkdxcddXdx因此)()*,(21*)()()*,(21)*,(),*()*(222222kkxxTkkkkxxTkkkkkkodxdxfodxdxLdxLdxf由于x*是问题（1）的局部极小点，对充分大的k有0)*,(/)()*,(210*)()*(2222dxdodxdxfdxfxxTkkkxxTkkk。于是充分条件设x*是K——T点，λ是相应的Lagrange乘子。如果*)}(,0*)(*);(,0*)(;,0*)(|{)*,()*,(0,0)*,(2xIixcdxIixcdEixcddxGxGddxLdiTiiTiTxxT其中，则x*是问题（1）的局部严格极小点。证明.**,*)()(*xxxxxfxfXxxkkkk，且有使得则存在不是局部严格极小点，如果222*,*/*)(.*/*)(xxxxxxddxxxxkkkkkkk令假设),*,(XxSFDd则，由于)()*(*)()(kkkTkkkodxfdxfxf),*,(0*)(XxSFDdxfdT。由于所以)(,0*)(*))((,0*)(EjxcdxIjxcdTjTjT，所以0*)(0*)(*)(1xfdxcdxfdT