多元函数微积分练习题

练习题一多元函数微分学部分练习题1求函数yxyxz11的定义域.2已知xyyxxyyxf5),(22，求),(yxf.3计算下列极限（1）22)0,1(),()ln(limyxexyyx（2）4422),(),(limyxyxyx（3）243lim)0,0(),(xyxyyx（4）xyxxy1)1,0(),()1(lim（5）2222)1,2(),(2limyxyxxyyx（6）2222)0,0(),()(2sinlimyxyxyx4证明极限yxyxyx)0,0(),(lim不存在.5指出函数22),(yxyxyxf的间断点.6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2yxz（2）xxyz)1(（3）),(2yxfxz（4）)(xyxz（5）yxyyxz2344（6）)ln(22yxz（7）)3cos(22yxezyx（8）yxyz)1(（9）2221zyxu（10）220sinyxdttz7计算下列函数的二阶偏导数（1）243yxyxz（2）)ln(xyyz（3）yezxysin（4）),(2yxfxz（5）2(,)zfxyx8求下列函数的全微分（1）xyxez（2）221yxz（3）xyzarcsin（4）),(yxyfxyz9设xydttyxf12sin),(，求df.10（1）22uvvuz，其中yxucos，xyvsin,求xz，yz（2）)arctan(),,(zyxzyxfu，其中)cos(xyz,求xz，yz（3）vuez，tusin，2tv,dzdt（4）),(22yxyxfz,求xz，yz（5）设),()2(xyxgyxfz，求xz，yz；11（1）设0)ln(22yxxyx，求dxdy.（2）设xyzez，求yzxz,.（3）已知1022zyxzyx，求dzdx，dzdy.12求曲线211tzttyttx在点1t的切线及法平面方程.13求曲线06222zyxzyx在点)1,2,1(0M处的切线与法平面方程.14求曲面3xyzez在点)0,1,2(M处的切平面和法线方程.15求函数22)1(yxz的极值.16求函数32zxyu在条件azyx)0,,,(azyx下的极值.17求函数32zxyu在曲面03222xyzzyx上点)1,1,1(P处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18设222(,,)3fxyzxyzxyxyz，求(1,2,3)gradf.二多元函数积分学部分练习题1、改变下列二次积分的积分次序（1）1102),(xdyyxfdx（2）yydxyxfdy21110),(（3）2242220),(),(yyydxyxfdydxyxfdy2、计算下列二重积分（1）Dxyd，其中区域D是曲线xy1，2x及xy所围成的区域.（2）Ddyx)(，其中区域D是曲线xy42及xy所围成的区域.（3）Ddyx)(，其中区域D：1yx.（4）Ddyx)cos(，其中区域D是曲线xy，0y及2x所围成的区域.（5）Dyxde22，其中积分区域D为中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.（6）Ddyx22，其中积分区域为D：122yx，xyx222，0y.3、设函数),(yxf连续，且Ddxdyyxfxyyxf),(),(，其中D是由0y，2xy和1x所围成的区域.4、设函数)(uf具有连续导数，且0)0(f，3)0(f，求3220222)(limtdyxftyxt.5计算下列三重积分（1）dxdydzzyx)sin(,其中是由三个坐标面与平面2zyx所围成的立体；（2）计算zdxdydz,其中是由曲面222yxz以及22yxz所围成的空间形体.（3）计算积分xyzdxdydz，其中是球面4222zyx在第一卦限的部分.6试计算立体由曲面228yxz及22yxz所围成的体积.7计算dxdydzez，其中是球面1222zyx.8计算下列曲线积分（1）LxydS，其中L为圆222ayx在第一象限内的部分；（2）222()xyzdS，其中是球面9222zyx与平面0zyx的交线.（3）Ldyyxdxy)2()1(3，其中L是曲线23xy上从点)0,0(O到点)1,1(A的一段弧；（4）计算Lxdyydx，其中L为圆周cosrx，sinry上由0到2的一段弧.（5）在过点)0,0(O和)0,(A的曲线族)0(sinaxay中求一条直线L，使沿该曲线到点O到点A的积分Ldyyxdxy)2()1(3的值最小.（6）计算dSz1，其中为球面4222zyx被平面1z截出的上半部分.（7）计算dSzyx)(222，其中为锥面222yxz介于平面0z与1z之间的部分.（8）计算dxdyyxez22，其中是锥面22yxz夹在平面1z和2z之间部分的外侧.（9）计算dxdyzdzdxydydzxI333，其中为以点)0,0,1(A，)0,1,0(B，)1,0,0(C为顶点的三角形的上侧.9求曲线：ax，aty，221atz（10t，0a）的质量，设其线密度为az2.10（1）设L为取正向的圆周922yx，计算曲线积分Ldyxxdxyxy)4()22(2的值.（2）利用Stokes公式计算曲线积分LxdzzdyydxI，其中L是球面2222azyx与平面0zyx的交线，由z轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分Ldyxdxxxy2)(2，其中L为222Ryx的第一象限由),0(R到)0,(R的一段弧.（4）已知1)(，试确定)(x，使曲线积分BAdyxdxxyxx)()]([sin与路径无关，并求当A，B分别为)0,1(，),(时线积分的值（5）计算yzdxdyxydzdxxzdydzI，其中是圆柱面222Ryx与平面0x，0y，0z及hz)0(h所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧.11（1）设kzjyixr，计算rrot.（2）设()Axyzxiyjzk，计算divA