多元回归模型的预测

65§3.4多元线性回归模型的预测计量经济学模型的一个重要应用是经济预测。对于模型βXYˆˆ如果给定样本以外的解释变量的观测值),,,,1(02010kXXX0X，可以得到被解释变量的预测值βXˆˆ00Y同样地，严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因在于模型中参数估计量的不确定性及随机项的影响两个方面。因此，我们得到的仅是预测值的一个估计值。为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括)(0YE和0Y的置信区间。一、)(0YE的置信区间易知)()ˆ()ˆ()ˆ(00YEEEYEβXβXβX000))ˆˆ()ˆ()ˆ(20ββ()Xββ(XβXβX0000EEYVar由于)ββ(X0ˆ为标量，因此0102000)(ˆˆ)ˆˆ()ˆ(XXXXX)ββ)(ββ(XX)ββ)(ββ(X00EEYVar容易证明),(~ˆ020XX)X(XβX100NY取随机扰动项的样本估计量2ˆ，可构造如下t统计量)1(~ˆˆknt)E(YY00010XX)X(X于是，得到()1的置信水平下)(0YE的置信区间：010000100)(ˆˆ)()(ˆˆ22XXXXXXXXtYYEtY(3.4.1)二、0Y的置信区间66如果已经知道实际的预测值0Y，那么预测误差为：000ˆYYe容易证明0))(())ˆ(()ˆ()(100000000μXXXXββXβXβXEEEeE))(1())(()()(01022100200XXXXμXXXXEeEeVare0服从正态分布，即e0～)))(1(,0(0102XXXXN取随机扰动项的样本估计量2ˆ，可得e0的方差的估计量)))(1(ˆˆ010220XXXXe构造统t计量0ˆˆ00eYYt～tnk()1可得给定()1的置信水平下0Y的置信区间：010000100)(1ˆˆ)(1ˆˆ22XXXXXXXXtYYtY(3.4.2)例3.2.3中，2001年人均GDP为4033.1元，于是人均居民消费的预测值为2001ˆY=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.8（元）2001年实测的居民人均消费支出（1990年价）为1782.2元，可见相对误差为-0.31%。比一元回归模型的精度提高。下面给出预测的置信区间。在95%的置信度下，临界值025.0t(19)=2.093，随机扰动项方差的估计值为2ˆ=705.5，00004.000001.000828.000001.000001.000285.000828.000285.088952.1)(1XX010XX)X(X=0.393867于是)ˆ(2001YE的95%的置信区间为3938.05.705093.28.1776或（1741.8，1811.7）同样，易得2001ˆY的95%的置信区间为3938.15.705093.28.1776或（1711.1,1842.4）需要指出的是，我们经常听到这样的说法，“如果给定解释变量值，根据模型就可以得到被解释变量的预测值为…值”，这种说法是不科学的，也是计量经济学模型无法达到的。如果一定要给出一个具体的预测值，那么它的置信水平则为0；如果一定要回答以100%的置信水平处在什么区间中，那么这个区间是∞。