多分辨分析在信号中的应用

西安理工大学研究生课程论文/研究报告课程名称：小波分析课程代号：任课教师：赵凤群论文/研究报告题目：多分辨分析在信号处理中的应用完成日期：2014年5月3日学科：应用数学学号：1307010116姓名：朱秋秋成绩：多分辨分析在一维信号处理中的应用在实际工程应用中,所分析的信号总会混杂着一定的噪声,有的噪声可能不是平稳的白噪声,而是包含尖峰或突变部分,这会干扰信号的本来面目,不利于信号的进一步分析与处理,因此对采集的信号需要先作预处理。小波变换和傅立叶变换在数字信号处理和图像处理中是重要的时频分析方法,但在信号与噪声频带相互重叠的领域,传统的傅立叶变换显得无能为力。同时由海森堡测不准原理可知,在信号分析中面临着时域与频域的局部化矛盾,若想在时域上得到足够精确的分辨率,就要以牺牲信号在频域上的分辨率为代价,小波变换由于能同时在时域和频域中对信号进行分析,有“自动变焦”的功能,所以它能有效地区分信号中的突变部分和噪声,从而实现信号的消噪。作为一种信号的时频分析方法,小波变换具有多分辨率分析的特点,在时频两域都有表征信号局部特征的能力,是一种窗口大小固定不变，但形状可以改变的时频局部分析方法。信号去噪一直是信号处理领域中的一个重要研究方向，其目的是为了提高信号的信噪比，突出信号的期望特征。去噪方法有时间和频域两种，但归根结底是利用噪声和信号在频域上分布的不同进行的。信号主要分布在低频区域，而噪声主要分布在高频区域，但同时信号的细节也分布在高频区域拉，因此信号去噪中的一个困难问题就是如何在去噪与保持信号细节上保持平衡。传统的方法是广泛使用的频谱分析技术，它利用傅立叶变换把信号映射到频域内加以分析。然而实际中经常碰到非平稳信号的情况，需要分析每个时刻内含有的频率分量。由于这类信号(如短暂突发信号)的谱特性沿时间轴无限扩展，利用傅立叶变换的基函数很难与其匹配。小波分析属于调和分析，是一种时域、频域分析，具有多分辨率特性，它巧妙地利用非均匀分布上的分辨率通过平移的可变窗口观察非稳信号。在信号瞬变处或突变处(高频)用窄窗，在信号缓变处(低频)用宽窗，因此能有效提取非稳信号的瞬态稳态信息，可提取到信号波形特征，获得信号先验信息HJ。由于其多分辨率特性，在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在高频部分使用逐渐尖锐的时间分辨率和较低的频率分辨率，以便移近观察信号的快变部分；在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，以便观察信号的慢变部分(整体变化趋势)，小波这种信号分析表示特征对分析非平稳信号是非常有效的，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并且展示其成分。在信号处理领域,用小波分析降噪已得到越来越广泛的应用。小波阈值去噪法是小波去噪方法中应用较广泛的一种,它具有方法简单、计算量小和去噪效果好的特点。小波阈值去噪原理小波阈值去噪，即属于空间的信号在小波域内其能量主要集中在有限的几个系数中,而噪声的能量却分布于整个小波域内,因此经过小波分解后,信号的小波变换系数要大于噪声的小波变换系数,于是可以找到一个合适的数作为阈值(门限),当系数小于阈值时,认为这时的系数主要是由噪声引起的;当大于该阈值时,认为这时的系数主要是由信号引起,从而可以实现信号和噪声的分离。一个含噪声的一维信号模型可以表示成如下的形式:()()(),0,1,2,...1Sifieiin其中()fi为有用的真实信号,()ei为噪声信号,()Si为含噪声的信号,且假设噪声()ei为高斯白噪声。在实际工程应用中,有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则通常表现为高频信号。噪声信号的高频部分影响的是小波分解的高频第一层,低频部分则影响的是小波分解的最深层及其低频层,因此我们可以通过处理小波分解系数,以达到消噪的目的。小波阈值去噪步骤通过对小波阈值去噪原理的分析,对于一维信号使用小波去噪过程可分为以下三个步骤:(1)一维信号的小波分解。选择一个小波并确定小波分解的层次N,然后对含噪声信号S进行N层小波分解。图1三层小波分解示意图其中,CA3对应信号的低频部分,CD1、CD2、CD3对应信号的高频成分,且噪声部分通常包含在其中。(2)小波分解高频系数的阈值量化。对第1层到第N层的每一层高频系数,选择一个阈值进行软阈值量化处理。(3)一维信号的小波重构。根据小波分解第N层的低频系数,和经过量化处理后的第1层到第N层的高频系数,进行一维信号的小波重构。在以上三个步骤中,最关键的是如何选取阈值以及如何进行阈值的量化,从某种程度上说,这可以直接关系到信号去噪的质量。小波分析在一维信号处理中的应用(1)信号降噪。小波分析最广泛的应用无疑是信号处理，而在这个领域中，应用最多的就是信号的降噪。传统的去噪方法多采用平均或线性方法进行，常用的是Wiener滤波，但是去噪效果不够好。随着小波理论日趋完善，它以其自身良好的时频特性在图像信号去噪领域受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河。(2)信号压缩。信号压缩的基本目标就是在不损失信号所携带的信息的前提下，尽可能地减少用于存储信号的开销。用一维小波之所以能够对信号进行压缩，是因为一个规则信号的组成可以用几个部分精确地逼近，即一个数据量很小的低频系数和几个高频层的系数。小波变换实现数据压缩的基本目标是使得信号在时间---频率域的分解系数所占的存储空间尽可能小，同时还要保证压缩后的系数能精确的反映原信号所携带的信息。(3)奇异点的检测。信号(或函数)的奇异性是指信号(或函数)在某处有间断或某阶导数不连续，虽然，无限次可导的函数是光滑的或者说是没有奇异性。但奇异点及不规则的突变部分通常包含了信号的重要特征。在数学上，某信号的奇异性通常可以通过Lipschitz指数(或奇异指数)来度量。在小波出现之前，通常用Fourier变换研究信号在某处有间断、有奇异性的情况，根据信号的Fourier~换衰减的速度来确定该信号有无奇异性并判断奇异性的大小。由于Fourier变换对信号的表示缺乏空间局部性，因而Fourier变换只能确定信号奇异性的整体性质，无法确定奇异点的空间分布。而小波变换具有时频局部化特性。因此，利用小波变换分析信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小是比较有效的。(4)信号发展趋势检测及信号的自相似性检测。通常，一些含信号的发展趋势是难以分辨的。由于噪声的污染，有用的信号发展趋势在时域中看不出来，但通过小波分解，可去除那些干扰信号，最终显示出信号的真面目。直观上说，小波分解可通过计算信号和小波之间的自相似指数得到。这里的自相似指数也是小波系数，如果自相似指数大，则信号的自相似程度就高，反之亦然。如果一个信号在不同的尺度上都相似于它本身，那么其自相似指数，或者小波系数在不同的尺度上也相似。Mallat塔式算法多分辨率分析的闭子空间jV上的每个函数，都具有2j的分辨率，令jA是一个2()jLRV的投影算子，可以证明jA是信号在2j分辨率分析下的最佳逼近[1,2]，即它满足对于任何2()()fxLR和()jgxV有2||()()||||()()||jgxfxAfxfx(1)要对()fx工程信号进行分析时，可假设1JfV,1J为一确定的常数，因为实际测量得到的数据只是具有有限分辨率的，从而有()fx在逼近子空间1JV上的分解为111()()..()dJJnJnnZfxAfxAx（2）又因为11111()JJJfxVVW因而有11111()()()()JJJfxAfxAfxDfx式中11111.1,()()dJJnJnAfxAx111111()dJJJnDfxD这样一直做下去有2211()()()JJjjJfxAfxDfx,,()()djjnjnnAfxAx,,()()djjnjnnDfxDx其中，1,2,ddjnknjkkAhA1,2,112(,1,...1)ddjnknjkkDgAjJJJ还有Mallat重构算法：1,21,21,11()(...1,)dddjnnkjknkjkkkAfxhAgDjJJ称()jAfx为()fx在j尺度（或2j分辨率）下的连续逼近，也称为()fx在逼近子空间jV上的投影；称,djnA为()fx在j尺度（或2j分辨率）下的离散逼近或离散逼近谱；称()djDfx为()fx在j尺度（或2j分辨率）下的连续细节，也称为()fx在小波子空间jW上的投影。称,djnD为()fx在j尺度（或2j分辨率）下的离散细节或离散小波谱。()djDfx反应了()fx分别在尺度j及1j上的逼近之间“差”的信息，或者说()djDfx是()fx分辨率介于2j和12j之间的频率成份。所以说，Mallat分解算法将信号分解成了不同频率通道上的信号。参考文献[1]向晓燕,谭子尤,张书真.基于小波的阀值消噪方法讨论及实现[J].现代电子技术,2007(17):172-173.[2]倪瑛,林植平.小波分析及其去噪应用[J].南京工业职业技术学院学报,2008,8(2):21-22.[3]杜浩藩,丛爽.基于MATLAB小波去噪方法的研究[J].计算机仿真,2003,20(7):119-122.[4]胡昌华,张军波,夏军,等.基于MATLAB的系统分析与设计小波分析[M].西安:西安电子科技大学出版社,1999.[5]吕瑞兰,吴铁军,于玲.采用不同小波母函数的阈值去噪方法性能分析[J].光谱学与光谱分析,2004,24(7):826-829.[6]胡昌华，张军波，等．基于MATLAB的系统分析与设计…小波分析lM1．西安电子科技大学出版社，1999[7]马振国，李鹏，等．基于小波多分辨率分析法的电能质量检测[J]华北电力大学学报，2003，30(3)：13—16[8]成礼智，王红霞，等．小波的理论与应用IM]科学出版社，2004[9]段晨东，等一种改进的g2代小波算法及应用U]．西安交通大学学报。2004(1)：47—50[10]李建平．小波分析与信号处理[M]重庆大学出版社，2004[11]MALLAT,S.Atheoryformultiresolutionsignaldecomposition:thewaveletrepresentation［J］.IEEETrans.onPatternAnalysisandMachineIntelligence,1989，11(7)：674～693.[12]刘贵忠，邸双亮.小波分析及其应用［M］.西安：西安电子科学技术出版社，1992.[13]徐铭陶，秦树人，陈志奎.实施一维Mallat算法的几个问题［J］.重庆大学学报，1997，20（1）：7～11.[14]杨行峻，迟惠生．语音信号与数字处理[M]．北京：电子工业出版社，1995：391—400．[15]GONZALAZRC．Digitalimageprocessing[M]．北京：电子工业出版社，2002：75．[16]李建平．小波分析与信号处理[M]．重庆：重庆出版社，1997．[17]刘贵忠．小波分析及其应用[M]．西安：西安电子科技大学出版社，1992．[18]王大凯，彭进业．小波分析及其在信号处理中的应用[M]．北京：电子工业出版社，2006．[19]彭玉华．小波变换与工程应用[M]．北京：科学出版社，2006．[20]李建平，杨万年．小波十讲[M]．北京：国防工业出版社，2005．[21]靳济芳．VisualC++小波变换技术与工程实践[M]．北京：人民邮电出版社，2004．