多功能摆的设计与研究

多功能摆的设计与研究1．单摆：理想单摆是一根没有质量，没有弹性的线，系住一个没有体积的质点，在真空中纯粹由于重力作用，在与地面垂直的平面内作摆角趋于零的自由振动的系统。单摆的运动方程:sin)(222mgLdtdmL单摆的运动周期公式为gLT2，单摆法测量重力加速度的公式:2222)2/(44TdlTLg式中l为摆线长度，T为摆动周期，d为小球的直径，L为有效摆长，如图1所示。实际单摆的周期公式为：220221(1)20122216llmmlddTglmlm式中T是单摆的振动周期，l、ml是单摆的线长和质量，d、m、ρ单摆的直径、质量和密度，ρ0是空气密度，θ是摆角。2．扭摆：将一根细金属棒（线）的上端固定，下端联结一转动惯量为I的物体，以金属棒为轴将物体扭转一小角度后松开，物体将左右扭动，这就是扭摆。扭摆的运动方程：cdtdI22式中，c为金属棒的扭转系数（LGRc24）。扭摆的扭动周期公式为cIT2金属丝的切变模量G为248TRLIG扭转系数c可以采用一个从理论上容易计算其转动惯量的物体来确定。如圆柱体、圆环、球体等，测量时一定要注意保持系统的转动轴不变。在本实验中，为了保持转动轴不变，我们采用的是两个质量和体积相同的钢球对称放置在摆杆上的作法。如图2所示，将两个相同的钢球对称放置在摆杆上时，扭摆的摆动周期为40)2(8GRIILTb式中Ib为钢球绕金属线为轴转动时的转动惯量，由平行轴定理可知：2mdIIcb图１图2实心球体绕过质心轴的转动惯量为:252mrIc当把钢球放在距离d1处时有：42101)22(8GRmdIILTc当把钢球放在距离d2处时有：42202)22(8GRmdIILTc上面两式相减并整理可得到扭摆法测量钢丝切变模量的公式：)()(16212242122TTRddLmG式中G为金属棒的切变模量,L为金属棒的有效长度，R为金属棒的半径，I0为不放钢球时扭摆系统本身的转动惯量，Ic为钢球绕其质心轴的转动惯量，m为一个钢球的质量，D为钢丝的直径，1T表示钢球位于1孔处其扭转半径为1d时的摆动周期，2T表示钢球位于2孔处其扭转半径为2d时的摆动周期。3．误差均分原理误差均分原理（不确定度均分原理）是根据误差传递公式设计和选择测量仪器的一种方法。如用单摆法测量重力加速度g，需要测量摆线长度L和摆动周期T，如若要求测量g的精度%1)(gUr，我们应如何确定被测量L和T的大小，应该选用什么精度的测长和计时仪器才能达到要求？我们就可以根据误差均分原理粗略估算一下。用单摆法测量重力加速度g的公式为gLT2，间接测量量g的误差传递公式为22224)(TULUgUgUTLgr假设直接测量量L和T对g的误差贡献相同，则有：222%)1(214TULUTL如果单摆参数为：摆线长cml45，摆球直径cmd2，摆动周期sT3.1，可以得到cmUL3.0，004.0TU。可以看出,摆长用米尺（Δ米=0.05cm）测量即可，机械秒表Δ机=0.1s，电子秒表Δ电子=0.01s，测量者开、停秒表的反应时间近似为Δ机≈0.2s,所以对于周期的测量要采用多周期测量法（也称累积放大法）才能达到要求。测量周期数为50004.02.0n次。是否达到设计要求，可根据测量数据和仪器性能指标等估算不确定度检验。4．估算测量不确定度（误差）时的常用公式等精度多次直接测量量x的算术平均值：niixnx11，直接测量量x的算术平均值的标准不确定度：niixAxxnnu12)()1(1，直接测量量x在置信概率为p时的总不确定度:22)()(CkutUxpxApx，对于单次测量量，只有B类不确定度。B类不确定度一般有多项组成，如仪器误差，示值误差，估计误差等。但在教学实验中，我们一般只考虑仪器误差。不同的误差，其服从的分布是不同的，不同的分布，公式中的C不同，在教学实验中，一般只考虑仪器误差，且假定其都服从均匀分布，C取为3。对于有限次的测量，物理量并不服从正态分布，而是服从t分布，为了保持同样的置信概率，就要扩大置信区间，即把Au的置信概率与乘以一个大于1的pt因子，pt因子可根据测量次数n和所用置信概率p查表得到。为了保持A类和B类两类不确定度所采用的置信概率一致，所以就有了合成公式中的pk因子，pk因子可根据所用置信概率p查表得到。x为测量x所用仪器的最大允许误差，它是仪器的一个技术指标，如果不知道的话，可以用其最小分度代替，也可以用其最小分度的一半代替。对于各直接测量量相互独立的情况下，可得如下间接测量量y的不确定度传递公式。间接测量量y的（绝对）不确定度传递公式：nixiyiUxyU122间接测量量y的相对不确定度传递公式：nixiyriUxyyUyU122ln)(相对不确定度与绝对不确定度之间的关系：)(yUyUry?%100?)()(yUUpUyyyry单位测量量的一般结果表达式：?%100)(理论理论测量测量单位yyyUyyr对于验证性实验,其结果表达式为：5．本实验中所用不确定度传递公式g的相对不确定度传递公式：22222222122)(TdlrUTUdlUdlgUG的相对不确定度传递公式：222222222222222222222224)(dTddDLMrUTTTUTTTUdddUdddDULUMUGU