福建省2017年数学中考真题试卷和答案

...WORD格式整理福建省2017年数学中考真题试卷和答案一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.3的相反数是（）A．﹣3B．﹣13C．13D．32.如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3.用科学记数法表示136000，其结果是（）A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×1064.化简（2x）2的结果是（）A．x4B．2x2C．4x2D．4x5.下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形6.不等式组：{𝑥−2≤0𝑥+3＞0的解集是（）A．﹣3＜x≤2B．﹣3≤x＜2C．x≥2D．x＜﹣37.某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）...WORD格式整理A．10，15B．13，15C．13，20D．15，158.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADCB．∠ABDC．∠BACD．∠BAD9.若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（）A．3B．4C．5D．610.如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。）11.计算|﹣2|﹣30=．12.如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE．若DE=3，则线段BC的长等于．...WORD格式整理13.一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是13，那么添加的球是．14.已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是．15.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．16.已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1𝑥的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本题共9小题，共86分。）17.先化简，再求值：（1﹣1𝑎）•𝑎𝑎2−1，其中a=√2﹣1．18.如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．19.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AD于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）...WORD格式整理20.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求𝐶𝐷̂的长；（Ⅱ）若𝐵𝐶̂=𝐴𝐷̂，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．22．（10分）小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（√22）2+（√22）2=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．23．（10分）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次012345（含5次以...WORD格式整理数上）累计车费00.50.9ab1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数012345人数51510302515（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．24．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP=√2，求CF的长．25．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣12，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．...WORD格式整理福建省2017年数学中考真题试卷和答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A．2.B．3.B．4.C．5.A．6.A．7.D．8.D．9.C．10.D．二、填空题11.1．12.6．13.红球．14.7．15.108．16.152．四、解答题17.原式=𝑎−1𝑎•𝑎(𝑎+1)(𝑎−1)=1𝑎+1=√22...WORD格式整理18.证明：∵BE=DF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，{𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐴𝐶=𝐷𝐹𝐵𝐶=𝐸𝐹，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠A=∠D．19.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°．∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°．∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP．∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ．20.解：设鸡有x只，兔有y只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，结合上有三十五头，下有九十四足可得：{𝑥+𝑦=352𝑥+4𝑦=94，解得：{𝑥=23𝑦=12．答：鸡有23只，兔有12只．21.解：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，...WORD格式整理∵AB=4，∴OC=12AB=2，∴𝐶𝐷̂的长=90180×π×2=π；（Ⅱ）∵𝐵𝐶̂=𝐴𝐷̂，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，∴∠ODA=67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=12∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，∴PD是⊙O的切线．22．解1：（1）当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（12）2+（√32）2=14+34=1；...WORD格式整理（2）小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（𝐵𝐶𝐴𝐵）2+（𝐴𝐶𝐴𝐵）2=𝐵𝐶2+𝐴𝐶2𝐴𝐵2=𝐴𝐵2𝐴𝐵2=1．23．解：（Ⅰ）a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：1100×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元），所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元），因为5500＜5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．24．解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC=√𝐴𝐷2+𝐷𝐶2=10，要使△PCD是等腰三角形，①当CPCD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，...WORD格式整理∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=12AC=5，③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=12AD•DC=12AC•DQ，∴DQ=𝐴𝐷⋅𝐷𝐶𝐴𝐶=245，∴CQ=√𝐷𝐶2−𝐷𝑄2=185，∴PC=2CQ=365，∴AP=AC﹣PC=10﹣365=145；所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或145；（Ⅱ）如图2，连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=12ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=12PF，∵OP=OF=12PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，...WORD格式整理∴∠PCF=90°，∴∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴𝐶𝐹𝐴𝑃=𝐶𝐷𝐴𝐷=34，∵AP=√2，∴CF=3√24．25．解：（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=﹣2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+12）2﹣9𝑎4，∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣12，﹣9𝑎4）；（Ⅱ）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=﹣2，联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）...WORD格式整理∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4，由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b，∴a＜0，b＞0，∴△＞0，∴方程（*）有两个不相等的实数根，∴直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x2+（1﹣2𝑎）x﹣2+2𝑎=0，∴（x﹣1）[x﹣（2𝑎﹣2）]=0，解得x=1或x=2𝑎﹣2，∴N点坐标为（2𝑎﹣2，4𝑎﹣6），（i）由勾股定理可得MN2=[（2𝑎﹣2）﹣1]2+（4𝑎﹣6）2=20𝑎2﹣60𝑎+45=20（1𝑎﹣32）2，∵﹣1≤a≤﹣12，∴﹣2≤1𝑎≤﹣1，∴MN2随1𝑎的增大而减小，∴当1𝑎=﹣2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7√5，当1𝑎=﹣1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5√5，∴线段MN长度的取值范围为5√5≤MN≤7√5；（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，...WORD格式整理∵抛物线对称轴为x=﹣12，∴E（﹣12，﹣3），∵M（1，0），N（2𝑎﹣2，4𝑎﹣6），且a＜0，设△QMN的面积为S，∴S=S△QEN+S△QEM=12|（2𝑎﹣2）﹣1|•|﹣9𝑎4﹣（﹣3）|=27