大一下册高数第九章重积分答案

第九章重积分第一节二重积分的概念与性质1．1）、361a；2）、316.2．,,,.3．1）、100,36；2）、)122(4,)122(4；3)、34,32；4．解：222),(yxyxD是有界闭区域，又cDyxf),(.于是由二重积分中值定理，知：D),(，使2),(),(222fdxdyyxfyxdxdyyxfyx222),(1lim20=220),(1limf=),(lim0f=),(lim0),(f=)0,0(f.第二节二重积分的计算法1．（1）解：3111110201022dxxxdydxxdxdyxxD（2）解：Dxydxdy=baydyxdx00=2241ba3．（1）、dxyxfdyy111102),(；（2）、1022120210),(),(dyyxfdxdyyxfdxxdyyxfdxx21032),(（3）、dyyxfdxx3121),(4．（1）解：DDyxddedxdye222)(=ded21020=10]21[22e=)1(1e（2）解：DDdddxdyyx)(sinsin22=ddsin2202]sincos[2=26（3）解：DDdddxdyyx222（D关于x轴对称）=2301023cos2022dddd=2233cos38313d=32932925．解：dddyxVDD222)(22cos03add=da2244cos4=4323a第三节三重积分1．（1）解一：xzdxdydz11102xyzdzdyxdx=0)(612111711212dxxxdyyxdxx解二：因为被积函数),,(zyxf关于变量x是奇函数，积分区域关于yoz面对称，所以0xzdxdydz（2）解：dzddzzdxdydz=200RhRhzdzdd=dzhRhR02212=2241hR2．解：由题设，知：dvzyxM)(；又由对称性，有zdvvydxdv而xdv21212123dzdyxdx；故，29233M3．（1）解：dzdddxdydzyx226)(21032101220ddzdd（2）解：dzdddxdydzyx222)(3cos8224cos2020322ddzdd（3）解：dzddzxyzdvsincos320303302344230360534cossin22ddzdzdd（4）解：401032038cossinsincosdrrddddrdrvzd（5）解：552043203422154sinsinbadrrddddrdrvdyxab（6）解：因为被积函数),,(zyxf关于变量z是奇函数，积分区域关于xoy面对称，所以积分为零.第四节重积分的应用1．解：610202dzdddzdddvV2．解：由22yxz，有22yxxzx，22yxyzy所以21)()(122222222yxyyxxzzyx又0,2),(22xxyxyxDxy；因此，222xyxyDDddA3．解：因为dydI2)1(，所以59)1()1(111222yDdxdyydyI4．（1）解：因为32)1(1021102dyydxdydMyD所以532311102yDxdxdyxdMx；832311102yDdxydyydMy故，所求质心为)83,53(),(yx（2）解：由对称性，有0x，而bdxxaabydydxabydabdydyaxaabaDDD34)(222202230022故，所求质心为)34,0(),(byx5．解：由对称性，有0xF，而)(21sinsin)(0232223222abGmddGmddGmdyxyGmFbaDDy所以))(21,0(),(abGmFFFyx6．解：由对称性，有0yx，DDDDdzdddzz由题知，1),(22yxyxD；所以Dd3)()1()1(2102022dddddyxzdDdD故，31z.即31,0,0,,zyx综合题1．（1）解：20179)(1212332112222dxxxdyydxxdxdyyxxxD（2）解：1sin1)sin(sinsinsin21010dyyyydxdyyydxdyyyyyD2．（1）xxDdyyxfdxdxdyyxf1110),(),(或yoyDdxyxfdydxyxfdydxdyyxf1011010),(),(),(（2）xxDdyyxfdxdxdyyxf331),(),(或yyDdxyxfdydxyxfdydxdyyxf19333131),(),(),(3．（1）解：交换积分次序.原积分=)1cos1(21sinsin0102210ydyyydxydy（2）解：交换积分次序.原积分=21212212lnln1lnxxdxdyxxxd（3）分析：为去掉绝对值符号，需由曲线2xy将积分区域D分成上、下两部分解：1511)221()()(210421100221022dxxxdyyxdxdyxydxIxx3．证明：因dxdyyfxfdyyfdxxfdxxfdxxfDbabababa)()()(1)()(1)(同理，dxdyxfyfdxxfdyyfdxxfdxxfDbabababa)()()(1)()(1)(所以dxxfdxxfbaba)(1)(=dxdyxfyfyfxfD)()()()(21dxdyyfxfyfxfD)()()()(2122dxdyyfxfyfxfD)()()()(221=Dabdxdy2)(.得证.5．（1）sin2020)sin,cos(dfdI（2）sincos1020)sin,cos(dfdI6．（1）cos1040)sin,cos(dfdIsin1024)sin,cos(dfd（2）1sincos120)sin,cos(dfdI7．解：由对称性，我们仅需算出第一卦限部分的面积1A，于是14AA而1A的方程为：222yxaz，于是zyyzzxxz,Dyx),(其中axyxD22:，所以dxdyyzxzAD221)()(1dxdyyxaaD222)12()sin1(2022cos202220adadaad故)2(2424aAA8．（1）解：原积分=364128141101206105030210dxxdyydxxdzzdyyxdxxxyx（2）解：原积分=325241812130221210021dxxdyydxzdzdydxxyx9．（1）解：原积分drrddddrdrrR04402022sinsin5522R（2）解：原积分cos4102022sinsin1drddddrdrr0)sincossin4(2d49.（其中，41cos）10．（1）解：由对称性，上VV2=2)221(34sin22400220adrrdddva（2）解：2421sinsin41224202drrddddrdrdvV11．解：dxdyyxdzdxdyyxdvyxIxyxyDyxDz22202222)()()(22（由对称性）=604224045112)2(4adyyyxxdxaa第九章测验题1．B,B,D,D,B2．（1）、32；（2）、222021010),(),(yyydxyxfdydxyxfdy；（3）、0；（4）、42a；（5）、523．（1）解：由对称性，有原积分420220249)9sin(2)9(RRdddyRD（2）解：由对称性，有：原积分=xydydx1010461)2(21023dxxxx（3）解：交换积分次序，有：原积分312121110320103dyyyxdxdyyyy4．（1）解：34)1(22210210dzzdxdydzdvedvezDzz上（2）解：adrrddddrdrdvV20240202sinsin3203403281631cos2ara（3）解：52100320222)(dxdddxdddvzy310043105)215(2d5．解：dydI2)1(；由对称性，有105368)337(32)1(2)1(2102461210221dxxxxdyydxdyIxD6．证明：令102103102103)()()()(dxxxfdxxfdxxfdxxxfJDDDdxdyyxyfxfdxdyyyfxfdxdyyfxxf))(()()()()()(232323同理：DdxdyxyxfyfJ))(()(23于是，有0)]()()[()()(222DdxdyyfxfyfxfyxJ所以，0J.得证.