大一线性代数期末试题1

2009-2010学年第一学期《线性代数B》期末考试试卷（A卷）--1同济大学课程考核试卷（A卷）2009—2010学年第一学期命题教师签名：单海英审核教师签名：邵嘉裕课号：122010课名：线性代数B考试考查：考试此卷选为：期中考试()、期终考试(√)、重考()试卷年级专业学号姓名任课教师题号一二三四五六七总分得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空题（每空3分，共24分）1、设1、2、3均为3维列向量，已知矩阵123(,,)A,123123123927,248B，3，且1A，那么B.2、设分块矩阵AOCOB,,AB均为方阵，则下列命题中正确的个数为.(A).若,AB均可逆,则C也可逆.(B).若,AB均为对称阵,则C也为对称阵.(C).若,AB均为正交阵,则C也为正交阵.(D).若,AB均可对角化,则C也可对角化.3、设2341345145617891D，则D的第一列上所有元素的代数余子式之和为.4、设向量组(I):12,,,r可由向量组(II):12,,,s线性表示，则成立.(注：此题单选)(A)．当rs时，向量组（II）必线性相关(B)．当rs时，向量组（II）必线性相关(C)．当rs时，向量组（I）必线性相关(D)．当rs时，向量组（I）必线性相关5、已知方阵A满足223AAO,则1AE.6、当矩阵A满足下面条件中的时,推理“若ABO，则BO”可成立.（注：此题可多选）(A).A可逆(B).A为列满秩（即A的秩等于A的列数）(C).A的列向量组线性无关(D).AO7、设矩阵,AB分别为3维线性空间V中的线性变换T在某两组基下的矩阵，已知1,2为A的特征值，B的所有对角元的和为5，则矩阵B的全部特征值为.8、设nJ是所有元素均为1的n阶方阵(2n)，则nJ的互不相同的特征值的个数为.二、（10分）已知矩阵200011031A，100052021B,112101030C.矩阵P，X满足PAB,PXC.求矩阵X.三、（10分）设线性方程组123123123304235xxxxxaxbxxx，问当参数,ab取何值时，(1).此方程组无解?(2).此方程组有唯一解?(3).此方程组有无穷多解?2009-2010学年第一学期《线性代数B》期末考试试卷（A卷）--2四、（10分）设A为4阶方阵，4维列向量0b，()2RA.若1234,,,pppp都是非齐次方程组Axb的解向量，且满足122334232201,,010421pppppp(1).(6分)求齐次方程组0Ax的一个基础解系.(2).(4分)求Axb的通解.五、（16分）将二次型222123123121323(,,)46448fxxxxxxxxxxxx用正交变换化为标准型.2009-2010学年第一学期《线性代数B》期末考试试卷（A卷）--3六、（14分）设V为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间.定义V上的变换T如下：对任意XV，TTXAXXA，其中1221A，TX表示X的转置矩阵．(1).(6分)证明T是V上的一个线性变换；(2).(8分)求T在V的基1112212210010000,,,00001001EEEE下的矩阵.七、(1).(8分)已知向量组12,,,naaa线性无关,向量组12,,,nbbb满足：112223111nnnnnbaabaabaabaa，分别讨论当4n和5n时，向量组12,,,nbbb是否线性相关？(2).(8分)设12,为方阵A的两个不同的特征值，12,为A相应于1的两个线性无关的特征向量，34,为A相应于2的两个线性无关的特征向量，证明向量组1234,,,线性无关.