大一高数期末考试试题

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2011学年第一学期《高等数学(2-1)》期末模拟试卷专业班级姓名学号开课系室高等数学考试日期2010年1月11日页号一二三四五六总分得分阅卷人注意事项1.请在试卷正面答题,反面及附页可作草稿纸;2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;3.本试卷共五道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废.一.填空题(共5小题,每小题4分,共计20分)1.210lim()xxxex.2.1200511xxxxeedx.3.设函数()yyx由方程21xytedtx确定,则0xdydx.4.设xf可导,且1()()xtftdtfx,1)0(f,则xf.5.微分方程044yyy的通解为.二.选择题(共4小题,每小题4分,共计16分)1.设常数0k,则函数kexxxfln)(在),0(内零点的个数为().(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2.微分方程43cos2yyx的特解形式为().(A)cos2yAx;(B)cos2yAxx;(C)cos2sin2yAxxBxx;(D)xAy2sin*.3.下列结论不一定成立的是().(A)若badc,,,则必有badcdxxfdxxf;(B)若0)(xf在ba,上可积,则0bafxdx;(C)若xf是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有TTaadxxfdxxf0;(D)若可积函数xf为奇函数,则0xtftdt也为奇函数.4.设xxeexf11321,则0x是)(xf的().(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三.计算题(共5小题,每小题6分,共计30分)本页满分36分本页得分1.计算定积分2230xxedx.2.计算不定积分dxxxx5cossin.3.求摆线),cos1(),sin(tayttax在2t处的切线的方程.本页满分12分本页得分本页满分12分本页得分4.设20()cos()xFxxtdt,求)(xF.5.设nnnnnxnn)2()3)(2)(1(,求nnxlim.四.应用题(共3小题,每小题9分,共计27分)1.求由曲线2xy与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.本页满分15分本页得分2.设平面图形D由222xyx与yx所确定,试求D绕直线2x旋转一周所生成的旋转体的体积.3.设1,aatatft)(在(,)内的驻点为().ta问a为何值时)(at最小?并求最小值.本页满分18分本页得分五.证明题(7分)设函数()fx在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12fff,试证明至少存在一点(0,1),使得()=1.f一.填空题(每小题4分,5题共20分):1.210lim()xxxex21e.2.1200511xxxxeedxe4.3.设函数()yyx由方程21xytedtx确定,则0xdydx1e.4.设xf可导,且1()()xtftdtfx,1)0(f,则xf221xe.5.微分方程044yyy的通解为xexCCy221)(.二.选择题(每小题4分,4题共16分):1.设常数0k,则函数kexxxfln)(在),0(内零点的个数为(B).(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2.微分方程xyy2cos34的特解形式为(C)(A)cos2yAx;(B)cos2yAxx;(C)cos2sin2yAxxBxx;(D)xAy2sin*3.下列结论不一定成立的是(A)(A)(A)若badc,,,则必有badcdxxfdxxf;(B)(B)若0)(xf在ba,上可积,则0bafxdx;(C)(C)若xf是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有TTaadxxfdxxf0;(D)(D)若可积函数xf为奇函数,则0xtftdt也为奇函数.本页满分7分本页得分4.设xxeexf11321,则0x是)(xf的(C).(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三.计算题(每小题6分,5题共30分):1.计算定积分2032dxexx.解:202020322121,2ttxtdedttedxextx则设-------2200221dtetett-------22223210221eeet--------22.计算不定积分dxxxx5cossin.解:xdxxxxxddxxxx4445coscos41)cos1(41cossin--------3Cxxxxxdxxxtan41tan121cos4tan)1(tan41cos43424-----------33.求摆线),cos1(),sin(tayttax在2t处的切线的方程.解:切点为)),12((aa-------22tdxdyk2)cos1(sinttata1-------2切线方程为)12(axay即axy)22(.-------24.设xdttxxF02)cos()(,则)(xF)cos()12(cos222xxxxx.5.设nnnnnxnn)2()3)(2)(1(,求nnxlim.解:)1ln(1ln1ninninx---------2101)1ln(1)1ln(limlnlimdxxnnixninnn--------------2=12ln211)1ln(1010dxxxxx------------2故nnxlim=ee412ln2四.应用题(每小题9分,3题共27分)1.求由曲线2xy与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解:设切点为),00yx(,则过原点的切线方程为xxy2210,由于点),00yx(在切线上,带入切线方程,解得切点为2,400yx.-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy-----------------------------3面积dyyys)222(202=322-------------------3或322)2221(2212042dxxxxdxs2.设平面图形D由222xyx与yx所确定,试求D绕直线2x旋转一周所生成的旋转体的体积.解:法一:21VVV10221021022)1(12)2()11(2dyyydyydyy-------6)314(201)1(31423y--------3法二:V=102)2)(2(2dxxxxx101022)2(22)2(2dxxxdxxxx------------------5102234222)22(dxxxxxx322134213234141201)2(3222232xx-------------43.设1,aatatft)(在(,)内的驻点为().ta问a为何值时)(at最小?并求最小值.解:.lnlnln1)(0ln)(aaataaatft得由---------------30)(ln1lnln)(2eeaaaaat得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当ateaateaateaeee-----2故.11ln1)(,)(eeeetateaee最小值为的最小值点为--------------1五.证明题(7分)设函数()fx在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12fff,试证明至少存在一点(0,1),使得()=1.f证明:设()()Fxfxx,()Fx在[0,1]上连续在(0,1)可导,因(0)=(1)=0ff,有(0)(0)00,(1)(1)11FfFf,---------------2又由1()=12f,知11111()=()-=1-=22222Ff,在1[1]2,上()Fx用零点定理,根据11(1)()=-022FF,---------------2可知在1(1)2,内至少存在一点,使得1()=0(,1)(0,1)2F,,(0)=()=0FF由ROLLE中值定理得至少存在一点(0,)(0,1)使得()=0F即()1=0f,证毕.--------------3

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