大一高数期末试卷

1南华大学船山学院2010—2011学年第一学期《高等数学A》考试试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.设0x1x0xef(x)x，则f(x)的一个原函数是.2.曲线12x11y与x轴、y轴和直线4x所围成的面积是.3.已知曲线f(x)y上的任一点f(x))(x,的切线斜率是2x41，而且曲线经过定点(2,0)，则曲线方程.4.1xx12x4xf(x)234在Ｒ上的零点有个.5.已知(1)''f存在，且1xdx)f(elim3x02x0x，则(1)''f.二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.已知F(x)具有二阶连续导数(x)'F'，则下面正确的是（）A.F(x)dF(x)B.1]dx(x)'[F'x]dx(x)[F'dC.CF(x)(x)dF'D.C(x)F'F(x)(x)]dx'F'(x)[F'2.1-n1ini2nen2lim（）A.20xdxe2B.10x2dxe2C.20x2dxeD.10x2dxe3.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)，则0x(t)dtxF'd（）A.(x)dxxF'B.(x)dxxF'C.(x)dx]xF'[F(x)D.(x)]dxxF'[F(x)4.设f(x)的导数在x=a处连续，又xa()lim1fxxa，则（）2A.x=a是f(x)的极小值点B.x=a是f(x)的极大值点C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点D.x=a不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点。5.设0x1x0xef(x)sinx，那么x1f(t)dtF(x)在点0x处（）A.其连续性无法判定。B.是可导的。C.是连续的，但不可导。D.是不连续的。三．计算题（本题共6小题，共38分）1.求3)1(x1x1)(xx1)sin(xelim3。(6分)2.求抛物线22yax的曲率半径。(6分)3.求函数x9)3x(xf(x)2的极值和拐点。(6分)4.已知函数0x2x2x10xx)2x)(1(11f(x)22，求20x)dxf(1。(6分)5.求1101xxdx。(7分)6.设f(x)可导，0f(0)，若10102f(x)dx2xxf(x)f(tx)dtR)x(，求f(x)。(7分)四.证明题（22分）1.证明：当]2[0,x时，x21cosx。（6分）2.设f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且0f(2)，证明：至少存在一点(1,2)，使得0)f()ln('f。(8分)3.设f(x)在)[0,上连续且单调减少，试证明对任何0ab，皆有：bab0a0]f(x)dxaf(x)dxb[21xf(x)dx。（8分）3《高等数学A》考试试卷答案一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.0x1xx210xeF(x)2x2.2ln23.82xarctan21f(x)4.25．23二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1-5.DBDBC三．计算题（本题共8小题，共38分）1.解一：3)1(x1x1)(xx1)sin(xelim33x0xx1xsinxelim3333330xx1x))(xx3!1x()x(x1limoo65解二：3)1(x1x1)(xx1)sin(xelim33x0xx1xsinxelim32x20x3x1xcose3xlim36xxsin6xee9xlim33xx40x6xxsin6xelim3x0x652.解：2232,22,aayaxyyayyyy，则22322232(1)()yakyay，故223221()ayRka。3.解：0x9x3xx0x9x3xxf(x)2323①当0x时1)3)(x-3(x96x3x(x)'f2，1)6(x6x6(x)''f令0(x)'f，得f(x)的驻点：3x1，4令0(x)''f，得f(x)的可疑拐点：1x2，②当0x时1)3)(x-3(x96x3x(x)'f2，1)6(x6x6(x)''f令0(x)'f，得f(x)的驻点：1x3，令0(x)''f，f(x)没有可疑拐点，③0x4是f(x)的不可导点又当1x时，0(x)'f，当0x1时，0(x)'f，当3x0时，0(x)'f，当3x时，0(x)'f，1x3，3x1是f(x)的极小点，极小值是51)f(和27f(3)0x4是f(x)的极大点，极大值是0f(0)又当0x时，0(x)''f，当1x0时，0(x)''f，当1x时，0(x)''f，点(0,0)和点11)(1,是f(x)的拐点。4.解：20x)dxf(111f(x)dx10f(x)dx01f(x)dx10f(x)dx102dxx)2x)(1(11102]dxx)(11x122x14[10]x11x)2ln(12x)2ln(1[21ln2)2(ln321232ln501f(x)dx012dx22xx1012)]2x2x1ln(x[)2ln(1所以20x)dxf(121232ln)2ln(15.解：1101xxdx10104t1dtt10105t1)d(t51105)]arcsin(t51[106.解：记10f(x)dxa，那么当0x时，10102f(x)dx2xxf(x)f(tx)dtx022axxf(x)f(u)dux1x0232axxxf(x)f(u)du两边求导，得：ax4x3(x)'xff(x)f(x)2ax43x(x)'f2所以4ax)dx(3xf(x)2C232axx又0f(0)，f(x)可导必连续，从而得0C所以23ax2xf(x)于是两边求定积分，得：102103dxx2adxxa43a所以23x23xf(x)四、证明题（22分）1.证一：令1x2cosxf(x)则0)2f(f(0)，f(x)在]2[0,上连续，且2sinx(x)'f，令0(x)'f，得驻点2arcsin)2,0(当x0时，0(x)'f，f(x)单调增加，当x0时，0f(0)f(x)又当2x时，0(x)'f，f(x)单调减少，6当2x时，0)2f(f(x)综上所述，当]2[0,x时，0f(x)，即x21cosx。证二：令1x2cosxf(x)则0)2f(f(0)，f(x)在]2[0,上连续，且2sinx(x)'f，cosx(x)''f)2,0(x0(x)''ff(x)在]2[0,上是向上凸的，当]2[0,x时，0)}2f(min{f(0),f(x)，即得：当]2[0,x时，x21cosx。2.证：令f(x)lnxF(x)，f(x)、lnx在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，F(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，根据拉格朗日中值定理，至少存在一点(1,2)，使得：1)-)(2('FF(1)F(2)………..(*)又x1f(x)(x)lnx'f(x)'F，0f(2)（或直接在[1,2]上应用罗尔定理即可证得。）1)f()ln('f)('F，0F(1)F(2)由(*)式可得：01)f()ln('f，即0)f()ln('f所以，至少存在一点(1,2)，使得0)f()ln('f。3.证：令]f(x)dxaf(x)dxu[21xf(x)dxF(u)u0a0ua0)(a，则f(x)在)[0,上连续，F(u)在)[0,上可导，又显然有0F(a)。对F(u)求导，得：当0u时uf(u)21f(x)dx21uf(u)(u)'Fu07u0f(x)dx21uf(u)21}f(x)]dx[f(u){21u0f(x)在)[0,上单调减少，当xu时，0f(x)f(u)，所以0}f(x)]dx[f(u){21(u)'Fu0从而，F(u)在)[0,上是单调减少的，于是当0ab时，有：0F(a)F(b)，即：bab0a0]f(x)dxaf(x)dxb[21xf(x)dx。