大一高等数学复习题

极限与连续总结复习课（一）内容1.极限：极限的定义，极限的四则运算，两个重要极限。无穷小的比较与等价代换。2.连续函数：连续函数的定义和四则运算，间断点。连续函数的性质。二）要求1.了解极限概念，会求简单极限。会用两个重要极限和等价代换定理。2.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点；理解连续函数的运算和性质。（三）知识网络图1.函数的极限左右极限左右极限两个重要极限两个重要极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小的性质无穷小的性质极限存在的充要条件极限存在的充要条件判定极限存在的准则判定极限存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质等价无穷小及其性质唯一性唯一性无穷小0)(limxf无穷小0)(limxf两者的关系两者的关系无穷大无穷大)(limxf无穷大无穷大)(limxf2.函数的连续性左右连续左右连续在区间[a,b]上连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质连续函数的性质初等函数的连续性初等函数的连续性间断点定义间断点定义连续定义0lim0yx)()(lim00xfxfxx连续的充要条件连续的充要条件连续函数的运算性质连续函数的运算性质非初等函数的连续性非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类（四）极限的思想方法极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。（五）典型复习题1．函数3213xxy的连续区间是。A．),0()0,(xB．]1,1[x；C．]1,0()0,1[x；D．),1[]1,(x2．数列，，，，65544332的极限是()A.0B.1C.21nnD.不存在3.若函数)(xf在点0x处的极限存在，则_____.A．)(xf在点0x处的函数值必存在且等于极限值；B．)(xf在点0x处的函数值必存在，但不一定等于极限值；C．)(xf在点0x处的函数值可以不存在；D．如果)(xf在点0x处的函数值存在的话，一定等于极限值。4．当1x时，)1(2112xx是的无穷小。5．函数xy在0x处。A．无极限但连续；B．无极限且不连续；C．有极限但不连续；D．有极限且连续6.392xxy的可去间断点是。7.计算下列极限(1)55limxxxx(2)xexxtan1lim0(3)xxxxsin1sinlim20(4)143lim221xxxx(5)xxxx3lim(6)xxxxxsinsinlim0(7)xxarctanlim(8)121lim4xx8．函数)2ln(xy的连续区间是。9.求极限：(1)xxx41lnlim(2)xxx)21ln(lim0