大一高等数学复习题2(含答案)

工程数学二复习题（教师用）一、选择题：1、下列等式中有一个是微分方程，它是（D）A、)(uvvuvuB、vuvvuvu2C、dxeydedxdyxx)(D、043yyy解：选项A和B是求导公式，选项C为恒等式，选项D符合微分方程的定义2、下列方程中有一个是一阶微分方程，它是（C）A、yyxyxy22)(B、0)(5)(7542xyyyC、0)()(2222dyyxdxyxD、043yyyx3、若级数1nna与1nnb都发散，则（C）A、1)(nnnba发散B、1nnnba发散C、1)(nnnba发散D、122)(nnnba发散解：由nnnbaa推知若选项C收敛，则1nna收敛，与题设矛盾，故选C4、级数1nna的部分和数列nS有界是该级数收敛的（A）A、必要非充分条件B、充分非必要条件C、充要条件D、既非充分也非必要条件5、级数1nnqa（a为常数）收敛的充分条件是（A）A、|q|1B、q=1C、|q|1D、q1解：该级数是公比为q1的几何级数，所以当11q，即|q|1时级数收敛6、若级数1nna收敛，那么下列级数中发散的是（B）A、1100nnaB、1)100(nnaC、100+1nnaD、1100nna解：选项B中，因为0100)100(limnna，所以该级数发散7、若级数1nna发散，则（D）A、0limnnaB、)(lim21nnnnaaaSSC、1nna任意加括号后所成的级数必发散D、1nna任意加括号后所成的级数可能收敛解：选项A和B均为级数发散的充分条件，但非要条件。若级数发散，则任意加括号后所成级数可能收敛也可能发散8、若级数1nna收敛，则下述结论中，不正确的是（C）A、1212)(nnnaa收敛B、1nnka收敛)0(kC、1||nna收敛D、0limnna解：选项A中因为14321212)()()(nnnaaaaaa所以A正确选项B中由级数收敛性质知该级数收敛，所以B正确选项D是级数收敛的必要条件，所以D正确选项C中原级数收敛，1||nna可能收敛也可以发散9、无穷级数1)0()1(nnnnuu收敛的充分条件是（C）A、),2,1(1nuunnB、0limnnuC、),2,1(1nuunn，且0limnnuD、11)()1(nnnnuu收敛解：所给级数为交错级数，选项C为交错级数判断收敛性的莱布尼茨定理中的条件10、设),2,1(10nnun，则下列级数中必定收敛的是（D）A、1nnuB、1)1(nnnuC、1nnuD、12)1(nnnu11、在球02222zzyx内部的点是（C）A、（0，0，2）B、（0，0，-2）C、)21,21,21(D、)21,21,21(解：球的标准方程为1)1(222zyx，是以（0，0，1）为球心，1为半径的球面，经验算选项C中的点到球心的距离为12312、设函数22),(yxxyyxfz，则下列各结论中不正确的是（D）A、22),1(yxxyxyfB、22),1(yxxyyxfC、22)1,1(yxxyyxfD、22),(yxxyyxyxf13、设函数z=f(x,y)在点(x0，y0)处存在对x，y的偏导数，则f’x(x0，y0)=（B）A、xyxfyxxfx),(),2(lim00000B、xyxxfyxfx),(),(lim00000C、xyxfyyxxfx),(),(lim00000D、0000),(),(limxxyxfyxfx解：根据偏导数定义知选项C和D显然错误选项A中，xyxfyxxfx),(),2(lim00000=),(22),(),2(lim20000000yxfxyxfyxxfxx选项B中，xyxxfyxfx),(),(lim00000=),(),(),(lim0000000yxfxyxfyxxfxx14、二元函数z=f(x,y)的两个偏导数存在，且0,0yzxz，则（D）A、当y保持不变时，f(x,y)是随x的减少而单调增加的B、当x保持不变时，f(x,y)是随y的增加而单调增加的C、当y保持不变时，f(x,y)是随x的增加而单调减少的D、当x保持不变时，f(x,y)是随y的增加而单调减少的解：由0xz知当y保持不变时，f(x,y)是x的单调增加函数；由0yz知当x保持不变时，f(x,y)是y的单调减少函数；15、函数z=f(x,y)在点（x0,y0）处可微的充分条件是（D）A、f(x,y)在点(x0,y0)处连续B、f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数C、0]),(),([lim00000yyxfxyxfzyxD、0]),(),([lim00000yyxfxyxfzyx，其中22)()(yx解：二元函数在点（x0,y0）连续或偏导数存在均不能保证在此点可微由全徽分的定义知选项D正确16、已知函数22),(yxyxyxf，则yyxfxyxf),(),(（B）A、2x-2yB、x+yC、2x+2yD、x-y解：设u=x+y，v=x-y，则f(u，v)=uv，从而f(x，y)=xyyyxfxyxf),(),(17、已知函数xyyxyxxyf22),(，则yyxfxyxf),(,),(分别为（A）A、-1，2yB、2y，-1C、2x+2y，2y+xD、2y，2x解：设u=xy,v=x+y，则f(u，v)=(x+y)2-xy=v2-u所以f(x，y)=y2-x18、点),(00yx使0),(yxfx且0),(yxfy成立，则（D）A、),(00yx是),(yxf的极值点B、),(00yx是),(yxf的最小值点C、),(00yx是),(yxf的最大值点D、),(00yx可能是),(yxf的极值点解：0),(yxfx且0),(yxfy是),(yxf在),(00yx有极值的必要而非充分条件19、设区域D是单位圆122yx在第一象限的部分，则二重积分Dxyd（C）A、221010xyxydydxB、21010yxydydxC、21010yxydxdyD、102202sin21drrd解：在直解坐标系下：2210101010xyDxydydxxydxdyxyd在极坐标系下：103201020cossinsincosdrdrdrrrdxydD20、1010),(xdyyxfdx（D）A、xdxyxfdy1010),(B、1010),(dxyxfdyC、1010),(xdxyxfdyD、1010),(ydxyxfdy解：改变积分次序后，积分区域可记为}10,10|),{(yxyyxD21、若Ddxdy1，则积分区域D可以是（C）A、由x轴，y轴及x+y-2=0所围成的区域B、由x=1，x=2及y=2，y=4所围成的区域C、由|x|=1/2，|y|=1/2所围成的区域D、由|x+y|=1，|x-y|=1所围成的区域解：由二重积分的几何意义可知D的面积为1，画出草图可知选项A、B、D所给区域面积均为2，选项C所给区域的面积为1二、填空题：1、微分方程0yyx满足条件1)1(y的解是（xy1）2、微分方程0)1()1(dyxdxy的通解是（Cyx)1)(1(）解：xdxydy11，于是Cxyln)1ln()1ln(8、设yxz，则dz=(dyyxydxxyxy222)4、yydxyxfdydxyxfdy0202110),(),(交换二次积分的次序为（102),(xxdyyxfdx）5、已知)2,2,1(),4,1,1(ba，则ba（-9），a与b的夹角为（43）6、二元函数yxz的定义域是（222{(,)|24,}Dxyxyxy）。三、计算题1、求级数7538642xxxx的收敛域，并求和函数。解：122)(nnnxxa212121||2)22(lim)()(limxnxxnxaxannnnnn当1||2x即1||x时收敛，当1||2x即1||x时发散当x=1时，原级数为12nn发散，当x=—1时，原级数为1)2(nn发散所收敛域为（—1，1）令1122)(nnnxxS，则S（0）=0xnxnnnxxxxdtntdttS010122212)1|(|12)()1|(|)1(21)(2222xxxxxxS2、将函数xexxf3)(展开成x的幂级数。参考答案：解：1!nnxnxe),(x1!)1(nnnxnxe),(x从而133!)1()(nnnxnxexxf),(x3、级数2ln11nnn是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？参考答案：解：因nnn1ln1|u|，而21nn发散，故2ln1nn发散。因此原级数不是绝对收敛，显然nnln11ln1，,3,2n，且0ln1limnn，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。4、已知1,1,4a（），1,2,2b（），求a在b上的投影。参考答案：111(2)(4)2=-9ab||PrPr3||bbababbjajab5、设sinuzev，而uxy，vxy求zx。参考答案：zzuzvxuxvxsincosuuyevev(sin()cos())xyeyxyxy6、(2,1)xyze计算函数在点处的全微分。参考答案：22(2,1)(2,1),,,2,xyxyzzzzyexeeexyxy所求全微分222dzedxedy7、设22arcsinxzxy，求zx参考答案：222221=1xzxxxxyxy222223||()xyyyxy22||.yxy8、求xyyxz333的极值参考答案：解：由11,0003303322yxyxxyzyxzyx又yzzxzyyxyxx6,3,6对于（0，0）点，092BAC，故（0，0）不是极值点对于（1，1）点，0279362BAC，且A0，所以（1，1）为极小值点，且极小值Z=—19、求Ddyx)(22，D是由)0(3,,,aayayaxyxy所围成的区域参考答案：解：aaaayayDadyayaaydxyxdydyx343223222214)312()()(10、计算二重积分dxdyyxyD31，其中D是由1,,02yxyx所围成的第一象限的闭区域。参考答案：积分区域：Dyxy010dxyxydydxdyyxyyD100331112311211032dyyy11、欲围一个面积为62平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元。其余三面每米造价5元，