大学一年级高数期末考试题及答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案第1页共7页第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），1．求极限xxxxx30sin2cos1lim．解：30303012cos1lim12cos12limsin2cos1limxxxxxxxxxxxxxx20302cos1ln032cos1ln02cos1lnlim2cos1lnlim2cos1ln1lim1limxxxxxxxexexxxxxxxx412cos1sinlim0xxxx．2．设0x时，xf与22x是等价无穷小，30xdttf与kAx等价无穷小，求常数k与A．解：由于当0x时，30xdttf与kAx等价无穷小，所以1lim300kxxAxdttf．而10132320132323230132300061lim6lim3122lim31limlim3kxkxkxkxkxxAkxAkxxxAkxxxxxfAkxxxfAxdttf所以，161lim10kxAkx．因此，61,1Ak．3．如果不定积分dxxxbaxx22211中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件．解：第一学期高等数学期末考试试卷答案第2页共7页将22211xxbaxx化为部分分式，有2222211111xDCxxBxAxxbaxx，因此不定积分dxxxbaxx22211中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数0CA．即22222222211111111xxxDxBxDxBxxbaxx．所以，有DBDxxDBxDxBbaxx2112222．比较上式两端的系数，有DBbDaDB,2,1．所以，得1b．5．计算定积分2502,1mindxx．解：1211222,1minxxxx3132221211xxxxxx．所以，8132212,1min2522110250dxxdxxdxdxx．5．设曲线C的极坐标方程为3sin3ar，求曲线C的全长．解：曲线3sin3ar一周的定义域为30，即30．因此曲线C的全长为adadaadrrs233sin3cos3sin3sin30230242623022．第一学期高等数学期末考试试卷答案第3页共7页二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），6．求出函数nnxxxf221sinlim的所有间断点，并指出这些间断点的类型．解：2102121212121sin21sinlim2xxxxxxxxfnn．因此211x与212x是函数xf的间断点．00limlim2121xxxf，1sinlimlim2121xxfxx，因此21x是函数xf的第一类可去型间断点．1sinlimlim2121xxfxx，00limlim2121xxxf，因此21x是函数xf的第一类可去型间断点．7．设是函数xxfarcsin在区间b,0上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限bb0lim．解：xxfarcsin在区间b,0上应用Lagrange中值定理，知存在b,0，使得0110arcsinarcsin2bb．所以，22arcsin1bb．因此，22220220220arcsinarcsinlimarcsin1limlimbbbbbbbbbbb令btarcsin，则有第一学期高等数学期末考试试卷答案第4页共7页422022220220sinlimsinsinlimlimtttttttbttb3122sin2lim612cos1lim61122cos22lim42sin2lim0202030ttttttttttttt所以，31lim0bb．8．设xyydyexf102，求10dxxf．解：101010dxxfxxxfdxxf在方程xyydyexf102中，令1x，得010021102dyedyefyyyy．再在方程xyydyexf102两端对x求导，得21xexf，因此，10101010dxxfxdxxfxxxfdxxf121211010101222eeedxxeedxxexxx．9．研究方程2xaex0a在区间,内实根的个数．解：设函数12xeaxxf，xxxexaxeaxaxexf222．令0xf，得函数xf的驻点2,021xx．由于0a，所以1limlim2xxxeaxxf，112lim12lim1lim1limlim22xxxxxxxxxeaexaexaeaxxf．第一学期高等数学期末考试试卷答案第5页共7页因此，得函数xf的性态x0,02,02,2xf00xf1142ae1⑴若0142ae，即42ea时，函数12xeaxxf在0,、2,0、,2内各有一个零点，即方程2xaex在,内有3个实根．⑵若0142ae，即42ea时，函数12xeaxxf在0,、,0内各有一个零点，即方程2xaex在,内有2个实根．⑶若0142ae，即42ea时，函数12xeaxxf在0,有一个零点，即方程2xaex在,内有1个实根．10．设函数xf可导，且满足1xfxxf，00f．试求函数xf的极值．解：在方程1xfxxf中令xt，得1tfttf，即1xfxxf．在方程组xxfxfxxxfxxf中消去xf，得221xxxxf．积分，注意00f，得xdttttfxf02210．即第一学期高等数学期末考试试卷答案第6页共7页xxxdttttxfxarctan1ln2112022．由221xxxxf得函数xf的驻点1,021xx．而222121xxxxf．所以，010f，0211f．所以，00f是函数xf极小值；42ln2111f是函数xf极大值．三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），11．求曲线xy的一条切线，使得该曲线与切线l及直线0x和2x所围成的图形绕x轴旋转的旋转体的体积为最小．解：设切点坐标为tt,，由ty21，可知曲线xy在tt,处的切线方程为txtty21，或txty21．因此所求旋转体的体积为ttdxxtxtV24384212022所以，023842tdtdV．得驻点32t，舍去32t．由于031643223222tttdtVd，因而函数V在32t处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切线方程为2143xy．12．设函数xf在闭区间10，上连续，在开区间10，内可导，且21arctan20xdxexf，01f．第一学期高等数学期末考试试卷答案第7页共7页证明：至少存在一点10，，使得arctan112f．解：因为xf在闭区间1,0上连续，所以由积分中值定理，知存在2,0，使得arctan2arctan20fxfexdxe．由于21arctan20xdxexf，所以，21arctan2fe．再由01f，得1arctan4arctan1ffee．作函数xexgxfarctan，则函数在区间1,01,上连续，在区间1,内可导．所以由Rolle中值定理，存在1,01,，使得0g．而21arctanxexxfexgxfxf．所以存在1,01,，使得01arctan2ffefe．由于0fe，所以011arctan2f，即arctan112f．