大学基础物理学(韩可芳)习题参考-第3章(刚体力学基础)-0425

第三章刚体力学基础思考题3-1一个绕定轴转动着的刚体有非零的角速度和角加速度。刚体中的质点A离转轴的距离是质点B的两倍，对质点A和质点B，以下各量的比值是多少？（1）角速率；（2）线速率；（3）角加速度的大小；（4）加速度的切向分量；（5）加速度的法向分量；（6）加速度的大小。3-2以下说法是否正确？并加以分析：（1）一个确定的刚体有确定的转动惯量。（2）定轴转动的刚体，当角速度大时，作用的力矩也大。（3）使一根均匀的铁棍保持水平，如握住棍子的中点要比握住它的一端容易。（4）一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零；当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定为零。3-3指出下弄表达式哪些是正确的，哪些是错误的，并说明理由。,,,,2122ccccpcKvMrLMrJMghEvMEEK、EP、J、L分别表示绕定轴转动刚体的动能、重力势能、转动惯量、角动量。式中：M为刚体的质量，cv为质心速度，hc为质心距零势能面的高度，rc为质心到转轴的距离。3-4已知银河系中有一天体是均匀球体，现在半径为R，绕对称轴自转的周期为T，由于引力凝聚，它的体积不断收缩。假定一万年后它的半径缩小为r，试问一万年后此天体绕对称轴自转的周期比现在大还是小？它的动能是增加还是减少？3-5一圆形平台，可绕中心轴无摩擦地转动，有一辆玩具汽车相对台面由静止启动，绕轴做圆周运动，问平台如何运动？当小车突然刹车，平台又如何运动？运动过程中小车—平台系统的机械能、动量和角动量是否守恒？习题解答3-1一汽车发动机曲轴的车速在12s内由每分钟1200转均匀地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？3-2某机器上的飞轮运动学方程程为：=at+bt2-ct3，求t时刻的角速度和角加速度。3-3在边长为a的正六边形的顶点上，分别固定六个质点，每个质量都为m，设这正六边形放在XOY平面内，如图所示，求：（1）对OX、OY、OZ轴的转动惯量；（2）对通过中心C且平行于OY、OZ的两轴CY’、CZ’的转动惯量。3-4如本题图所示，有一实验用摆，匀质细杆的长l=0.92m，质量m=0.5kg，匀质圆盘的半径r=0.08m，质量为M=2.50kg。求对过悬点O且垂直摆面的轴的转动惯量。3-5图中是一块质量为M且均匀的长方形薄板，边长为a、b，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示。（1）证明板对OX轴和OY轴的转动惯量分另为：2121MbJOX，2121MaJOY。（2）求薄板对OZ轴的转动惯量。（1）证明：在长方形薄板上取一平行于X轴的横条形质元，它到转轴OX的距离为y，长度为a，高度为dy，该质元的质量为dybMadyabMdm22222121mbdybMydmyJbbmOX同理，可以长方形薄板上取一平行于Y轴的竖条形质元，到转轴OY的距离为x，高度为b，宽度为dx，该质元的质量为dxaMdm22222121madxaMxdmxJaamOY（2）根据垂直轴定理，22121baMJJJOYOXOZ3-6在如图所示的装置中，物体的质量m1、m2，定滑轮的M1、M2，半径R1、R2都已知，且m1m2。设绳子长度不变，质量不计，绳子与滑轮间不打滑，而滑轮则质量均匀分布，其转动惯量可按均匀圆盘计算，滑轮轴承处光滑无摩擦阻力，试求出物体m2的加速度和绳的张力T1、T2、T3。解：m1和m2的加速度数值相等，方向相反。分别对m1和m2应用牛顿第二定律，有：amgmTamTgm222111两滑轮的转动惯量分别为211121RMJ和222221RMJ，其角速度分别为11Ra和22Ra。对两滑轮分别应用转动定律，有：111113121aRMJRTT2222222321aRvMJRTT联立以上四式，解得：21212122MMmmmmga21212121124MMmmMMmgmT21212112224MMmmMMmgmT2121122121324MMmmgMmMmmmT3-7如图所示，已知定滑轮半径为R，转动惯量为J。弹簧的劲度系数为k。问质量为m的物体下落h时的速率是多大？设开始时物体静止且弹簧无伸长。解：取弹簧，重物，滑轮及地球为一系统，弹簧右端受力及滑轮轴的力均不作功，故系统机械能守恒。取各物开始位置为对应势能零点。有：2221210khJmgh又rv，代入得:222RJmkhmghv3-8质量为m1和m2的两物体分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分另为R与r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与绳间无滑动，轴承间的摩擦略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。解：m1,m2及定滑轮切向受力如图，设滑轮顺时间方向转动为正方向。取m1向下运动方向为坐标正向。1111amTgm(1)2222amgmT(2)JRTRT2211(3)又：raRa21(4)21JJJ(5)共有5式，求解5个变量。(4)式分别代入(1)、(2)式，得：RmgmT111，rmgmT222代入(3)式，得：)(21222211JJrmgrmRmgRm22212121rmRmJJgrmgRm然后求得：gmrmRmJJrRmRmJJTgmrmRmJJrRmrmJJTrmRmJJrgrmRmarmRmJJRgrmRma22221211212121222121222211222121212222121211,,［教材p264提供的答案中，分母有一个印刷错误］3-9如本题图所示，飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为每分钟1000转。现用闸瓦制动使其在5s内转动，求制动力。设闸瓦与飞轮之间的动摩擦系数=0.4，并设飞轮的质量全部分布在轮缘上。解：受力分析：制动力F作用于制动杆右端，则由杠杆原理，闸瓦作用于飞轮上的力为FFF5.25.075.05.0。闸瓦与飞轮之间的动摩擦力Ff使飞轮停止转动。则有5.2fF。取飞轮顺时钟转动方向为正。摩擦力的力矩为fRM，是恒力矩。做功fRMA［见教材p85］又由转动定理得：2021JA2021JfRRJf220飞轮视作细圆环，2mRJ。220mRf25.25.220mRfF用运动学方程求解：ttt0020021代入数据得：310060210000320531000t3250代入数据，得：N1014.3325024.05.2310025.06025.22220mRF3-10质量为0.50kg，长为0.40m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求：（1）在开始转动时的角加速度；（2）下落到铅直位置时的动能；（3）下落到铅直位置时的角速度和角加速度。解：（1）转动惯量231mlJ，合外力矩2lmgM2rad/s8.364.028.9323lgJM（2）由动能定理，只有重力做功2lmg，J98.0240.08.950.02lmgEK。（3）221JEK角速度rad/s57.8Jmgl此时外力矩为0M，角加速度0JM3-11一轻绳绕于半径r=0.2m的飞轮缘，现在恒力F=98N拉绳的端，使飞轮由殂止开始加速转动，如图(a)所示。已知飞轮的转动惯量J=0.5kgm2，飞轮与轴承之间的摩擦不计。求：（1）飞轮的角加速度；（2）绳子拉下5m时飞轮获得的动能；（3）如以重量P=98N的物体m挂在绳端，如图(b)所示，试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下5m时飞轮获得的动能。解：（1）由转动定律，JFrM，得2rad/s2.395.92.098JFr（2）由动能定理得：J490598SFEk（3）设物体向下加速度为a，maTmg对滑轮应用转动定律，JTR且ra，得：2rad/s8.21对滑轮，由转动动能定理得：m522122TJhJhT对物体，则动能定理得：221mvThmgh，且rvJ2.27245.04905.021212JEk3-12长l=0.4m的均匀木棒，质量M=1.0kg，可绕水平轴O在铅垂面内转动。开始时，棒自然地悬垂。现有m=8g的子弹，以v=2000ms-1的速率沿水平方向从A点射入棒中（见图）。假定A点与O点的距离为l43，求：（1）棒开始转动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。解：把子弹和杆作为一个系统,碰撞中分两个阶段：子弹射入棒内，子弹和棒一起转动。（1）子弹入射瞬间，没有使棒摆动（无重力矩），则系统所受外力矩为零,角动量守恒21LLmvlL431mlMllmlMlmvlMlLJL16931434331'433122222子弹棒mlMlmvl169314322lmMmvmlMlmvl4394169314322结果计算不正确！答案是8.88rad/s（2）在转动过程中机械能守恒。设最大偏转角为a，取竖直棒最低为零势能点，则有：LMglgmlmML21)cos1(43cos1433121222代入数值解得：2194需要代入数据进行计算！3-13一质量为1.12kg、长为1.0m的均匀细棒，支点在棒的上端点，开始时棒垂直悬挂。现在100N的力沿水平方向打击它的下端点，打击时间为1/50s，试求：（1）棒所获得的角动量；（2）棒的最大偏转角。解：（1）在打击过程中，由角动量定理，有：LtM又：FlM，得：12smkg0.25010.1100tFlL（2）［方法一］以棒为研究对象。在转动过程中，只有重力力矩做功。根据刚体定轴转动的动能定理，有：02210sin2Jdlmg又JL2203121cos2mlLmgl计算结果为72.56度。结果是88度38分。结果不正确！［方法二］以棒和地球为研究对象。在转动过程中，只有作为内力的重力力矩做功。机械能守恒。2210)cos1(JmglmglJ21cos2而231mlJ，JL3222232cosglmLmglJL结果未计算。3-14一水平圆盘绕铅直轴旋转，角速度为1，它对此轴的转动惯量为J1。现在其上有一转动方向相同，并以角速度2转动的圆盘，这圆盘对此轴的转动惯量为J2，两圆盘的平面平行，圆心同在一铅直线上，上盘的底面有销钉，如使上盘落下，销钉嵌入下盘，使两盘合成一体。（1）求两盘合成一体后系统的角速度；（2）上圆盘落下后，两盘的总动能改变了多少？（3）两圆盘总动能的改变应怎样解释？解：以两个盘作为研究系统。则在此过程中系统不受外力矩的作用，故角动量守恒。)(212211JJJJ212211JJJJ（2）212212122221122122121)(21JJJJJJJJEK（3）两盘之间摩擦力做负功，总动能减少。3-15质量为200kg的圆盘状平台可以绕通过圆盘中心的竖直轴自由转动。在平台边缘处站着一个质量为50kg的人，平台和人一起以1.24rads-1的角速度转动。当人从平台边缘走到台中心时，平台的角速度为多少？解：以平台和人为研究系统。在此过程中系统合外力矩为零，系统的角动量守恒。人台人台＝JJLLL