大学数学教案第8章

1第八章定积分的应用第一节定积分的微元法教学目标：掌握微元法教学重点：微元法教学难点：微元法教学过程：1、什么是微元法为了说明积分的微元法，我们回顾一下第七章中讨论过的曲边梯形面积问题。设f(x)在区间[a,b]上连续，且0)(xf，则以曲线y=f(x)为曲边，底为[a,b]的曲边梯形的面积badxxfA)(xy0xx+dxy=f(x)Ai把这个面积A表示为定积分badxxf)(的步骤是：（1）分割在区间ba,内插入1n个分点：bxxxan10将ba,分成了n个小区间，相应的面积niAAA1（niiAA1）（2）近似代替iiixfA（3）求和niiiniixfAA11（4）取极限0limAnibaiidxxfxf1确定部分面积iA的近似值iixf是把曲边梯形面积A表示成定积分badxxf)(的关关键键。在实用时，这一步骤可以简化，具体如下：（1）在[a,b]上任取一小区间dxx,x，A表示该小区间上所对应小曲边梯形的面积。（2）取左端点x为i，以x处的函数值f(x)为高，底为f(x)，则矩形面积dxxfA定义：dxxfdA)(为面积微元（3）于是badxxfdxxfA)()(lim02、注意以下几点：（1）所求整体量（即面积）与自变量的变化区间有关。（2）所求整体量对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把区间分成若干部分区间，则所求量相应地分成若干部分量（即)iA而所求量等于所有部分量之和，即iAA（3）当iA与iixf的差是iA的高阶无穷小时，才能用iixf近似代替部分量iA，这时和式的极限，即niiixf1的极限值就是A的精确值。在实际问题中，一般都满足这个要求，因此通常对此不做验证。这种方法称为微元法2第二节平面图形的面积教学目标：利用微元法求解平面图形面积的方法教学重点：微元法求平面图形面积教学难点：公式的选取教学过程：1、在直角坐标系中的计算方法平平面面图图形形分分类类如如下下۩（1）由连续曲线y=f(x)（0xf），x轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形面积A的计算。xy0xx+dxy=f(x)Ai解法一：定积分的几何意义badxxfA)(………………（1）解法二：微元法①任取badxxx,,②面积微元dA=f(x)dx，它表示高为f(x),底边长为dx的一个矩形面积。③badxxfA)(۩（2）设在区间ba,上，连续曲线y=f(x)位于连续曲线y=g(x)上方，由这两条曲线及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形面积A的计算。xy0xx+dxy=f(x)dAy=g(x)解法一：定积分的几何意义badxxfA)(—badxx)(g解法二：微元法①任取badxxx,,②面积微元dxxgxfdA，表示以f(x)-g(x)为高，dx为底的矩形③badxxxfAg)(……上—下……………………………………（2）۩（3）设在区间ba,上，连续曲线yx位于连续曲线yx右方，由这两条曲线及直线dycy,所围成的曲边梯形面积A的计算。yx0解法一：微元法۩(4)如果曲边梯形的曲边由参数方程①任取dcdyy,,y②面积微元dA=f(y)dy，它表示高为yy,底边长为dy的一个矩形面积。③badxyyA…………右—左……………………………………（3）3Xtytx给出，且当x从a取到b时，t从取到，解法：代数变换（无需几何微元法）dtttydxAba/……………………定积分换元法…………………………（4）总结：由此可见，微元法可以解决平面图形面积求解问题。例1：计算由两条抛物线22,xyxy所围成的图形的面积。例2：计算由2xy与直线y=x及y=2x所围成图形的面积。例3：计算由抛物线xy22与直线xy4所围成图形的面积。例4：计算椭圆12222byax的面积A例5：求抛物线xy22与直线4yx所围成的图形的面积。解一:先画已知方程的图形,求出抛物线与直线的交点A(8,4),B(2,－2)。在这个例题中，将y轴看作曲边梯形的底，可使计算简单些，所求的面积S是直线4yx和抛物线22yx分别与直线2,4yy所围成的图形的面积之差。即18)642(244232422yyydyyyS解二则当然还是可以将x轴看作曲边梯形的底，则所围成的图形的面积可分为两部分：2802222418Sxdxxxdx（平方单位）例6:求曲线22xy、211xy与直线3x、3x所围成的图形的面积，如图6-18阴影部分面积的总和。解由于图形对称于y轴，所以所求面积S是第一象限内两小块图形面积的两倍。两曲线交点P的横标为x=1x，于是313103arctan6)6(arctan2xxxx=11.223331(平方单位)yx22xy211xy312210221122112dxxxdxxxS42、在极坐标系中的计算方法某些平面图形的面积，用极坐标来计算比较简便。图形：（1）定义：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。图形轨迹方程例：13cos（2）与直角坐标系的转换222sincosxyxy（3）极坐标系下面积微元法定义：曲边扇形由，,所围成平面图形。0x设0在，上连续，例7：计算圆cos2介于x轴与射线3间的部分图形的面积。解：302433cos221Ad例8：计算圆1与心形线cos1所围成公共面积。解：xy0①任取,d，②求面积微元：相应的窄曲边扇形面积可以用处的极径作为半径，d作为圆心角的扇形面积近似代替，即面积微元为dLrA2221r2121d③积分：dA221……………………（5）5所求面积为极轴上半部分2倍由1与cos1联立得22022cos121212Add=245例9：求三叶玫瑰线3sina所围成部分的面积。解：如图a-一瓣对应从0到3所以3023sin213Ada24a第三节体积教学目标：微元法体积的求解教学重点：体积公式的掌握教学难点：体积公式的推导教学过程：1、旋转体的体积（1）定义：一个平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周而成的立体教做旋转体，这条直线教旋转轴。（母线）（2）利用微元法求旋转体体积（i）设函数y=f(x)在b,a上连续，且0xf，求由bxaxxfy,,，x轴所围成图形绕x轴旋转一周的体积（ii）设函数yx在d,c上连续，求由dycyyx,,，y轴所围成图形绕y轴旋转一周的体积。xy0cd微元法得①任取badxxx,,②体积微元dxxfdV2，表示：以x处xf为底圆半径，dx为高的圆柱体体积作为该小段旋转体体积的近似值，即体积微元。③积分：badx2xfV……（1）badyyV2………………（2）6例1：计算由椭圆12222byax所围成图形绕x轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积。例2：计算由椭圆12222byax所围成的图形绕y轴而成的旋转体的体积。例3：求由曲线3xy与直线x=2及y=0所围成的图形分别绕x轴和y轴一周所产生的旋转体的体积。2、截面面积为已知函数的立体的体积设立体在垂直于x轴的两个平面)(,xbabxa之间，并设过ba,内任一点x且垂直于x轴的截面面积A(x)为x的已知连续函数，求此立体体积。图：xabxx+dx例4：一立体的底面为一半径为5的圆，已知垂直于底面的一条固定直径的截面都是等边三角形，求立体体积。例5：一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。①任取badxxx,,②体积微元dxxdV)(A，③积分：badxxA)(V7第四节平面曲线的弧长教学目标：微元法求平面曲线的弧长教学重点：弧长公式的掌握教学难点：弧长公式的推导教学过程：1、设函数y=f（x）在区间b,a上有一阶连续导数，现用微元法求这条曲线上相应x从a到b的一段弧的长度L。解：微元法（1）任取badxx,,x（2）求相应小段上弧长微元用点xf,x处的切线长度代替dxdxdydydxdL2221dxy2/1（3）取积分badxyL2/1例1：计算曲线2332xy上相应于x从3到8的一段弧的长度。2、设曲线由参数方程tytxt给出，且tt//,在相应,上连续，求弧长。解：代数转化法（定积分换元）dttdttdttdydxd2/2/2/2/22)(LdtttL2/2/例2：求星形线taytax33sincos（20t）a0的全长。8第五节定积分在物理学中的应用教学目标：定积分在物理学中的应用教学重点：公式的应用教学难点：公式的推导教学过程：1、变力作功例1：一根弹簧原长为0.5米，1牛顿的力能使弹簧伸长0.01米，求把这根弹簧由原长拉长到0.6米所做的功。例2：一个圆柱形蓄水桶，桶口直径为6米，桶深为5米，桶中盛满了水，欲将桶内的水全部抽出桶外，问需作多少功？2、液体压力例3：有一矩形水闸门，宽20米，高16米，水面与闸门顶齐，求闸门一侧所受的压力。例4：底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在上，底与水面平行，顶点离水面3厘米，试求它每个侧面所受的压力。93、连续函数的平均数n个数值的算术平均数niiyny1_1下面我们计算一下连续函数y=f(x)在[a,b]上的平均值。nfyniin1_lim因为y=f(x)在[a,b]上连续，所以y=f(x)在[a,b]上可积，且baniiinxfdxxf1lim)(于是bainiinniindxxfabxfabnabfaby)(1lim11lim11_例5：正弦交流电的电流tIimsin，其中mI是电流的最大值，叫角频率，求i在半周期,0内的平均值。10