大学概率论习题五详解

1概率论习题五详解1、设X为离散型的随机变量，且期望EX、方差DX均存在，证明对任意0,都有2DXEXXP证明设iipxXP,...2,1i则EXxiixXPEXXPiEXxipEXxi22iiipEXx22=2DX2、设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切比雪夫不等式证明：1216YXP。证0YXE1,covDXDYYX325,cov2YXDYDXYXD1216662YXDYXEYXPYXP3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不超过0.01？解设nX为n次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得01.004.05.05.004.05.02nnXPn从而有1562504.001.025.02n即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。4、每名学生的数学考试成绩X是随机变量，已知80EX，25DX，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？解(1)由切比雪夫不等式21DXEXXP0又101090709070EXXPEXEXXEXPXP=75.01002511080XP即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75%(2)设有n个学生参加考试(独立进行)，记第i个学生的成绩为iXnii...2,，则平均成绩为niiXnX11，又8011niiEXnXE,nDXnXD2512则由切比雪夫不等式可得：nnnXPXP15251158085752要使上述要求不低于90%，只需9.01nn，解得10n，即有10个以上的学生参加考试，就可以达到要求。5、设800台设备独立的工作，它们在同时发生故障的次数01.0,800~BX，现由2名维修工看管，求发生故障不能及时维修的概率。解iiiiCXPXP8008002099.001.01212在二项分布表（附表1）中不能查出。8np，使用正态分布近似计算：若使用正态分布近似计算：X近似~92.7,8N,9834.0132.2132.292.781212XPXPXP6、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1)参加会议的家长数X超过450的概率；(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。解(1)以iX400...2,1i表示第i个学生来参加会议的家长数，则iX的分布律为:iX012ip0.050.80.15所以1.1iEX，19.0iDX，400...2,1i而4001iiXX由中心极限定理知：76,440~NX近似1257.0147.11450XP(2)以Y表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则8.0,400~BY由中心极限定理知：64,320~NY近似则9938.05.2340YP7、射手打靶得10分的概率为0.5，得9分的概率为0.3，得8分、7分和6分的概率分别0.1、0.05和0.05，若此射手进行100次射击，至少可得950分的概率是多少？解设iX为射手第i次射击的得分，则有iX109876ip0.50.30.10.050.05且1001iiXX，15.9iEX，95.842EX，2275.1DX由中心极限定理得：30008.0159.312275.110091595019501001iiXP8、某产品的不合格率为0.005，任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少？解依题意，10000件产品中不合格品数005.0,10000~BX，由50np，51pn，故可用二项分布的正态近似，所求概率为9977.08355.2005.0150507070XP9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只合格品的概率不小于0.95？解设n为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为X，则有99.0,~nBX，该题要求n，使得下述概率不等式成立。95.0100XP或05.0100XP利用二项分布的正态近似，可得：645.105.00099.099.0100nn因此，nn0099.0645.199.0100解得，19.103n这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0.95。（B）1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于0.1的概率不小于0.95。解：依题意，可建立如下概率不等式95.01.0PPP其中P是这实际的次品率，如抽取n个产品则次品的频率nxxxPn...21，由中心极限定理，P近似服从正态分布：nnPPPN/P1P,0N~PP/1,或从而有975.0295.0111.0PPn查表可得：96.111.0PPn或PPn16.19由于P未知，只得放大抽检量，用1/2代替PP1，可得：8.9n96n，可见，需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差0.1小于的概率不小于0.95。2、假设批量生产的某产品的优质品率为60%，求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率．解记n——随机抽取的200件产品中优质品的的件数，则n服从二项分布，参数为n=200，p=0.60；48)1(120pnpnp，．由于n=200充分大，故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近似地4．；5.0)0()33.4(33.4048120150481200150120)1,0(~48120)1(nnnnnnUNpnpnpUPPP3、设随机变量X服从参数为的泊松分布，nXXX,,,21是独立与X同分布随机变量，证明：对任意0，都有0})(1{lim212nkinXnP证明由于nXXX,,,21独立同泊松分布，可见22221,,,nXXX也独立同分布，而且数学期望存在：222)(iiiXXXEDE．因此，根据辛钦大数定律，有0})(1{lim212nkinXnP．