大学物理16章物理答案3

16.20两个共轴的螺线管A和B完全耦合，A管的自感系数L1=4.0×10-3H，通有电流I1=2A，B管的自感L2=9×10-3H，通有电流I2=4A．求两线圈内储存的总磁能．[解答]A管储存的自能为211112mWLI32314102810(J)2，B管储存的自能为222212mWLI323191047210(J)2；由于两线圈完全耦合，互感系数为12MLL333410910610(H)，A管和B管储存的相互作用能为Wm12=MI1I2=6×10-3×2×4=48×10-3(J)，两线圈储存的总能量为Wm=Wm1+Wm2+Wm12=0.128(J)．16.21一螺绕环中心轴线的周长L=500mm，横截面为正方形，其边长为b=15mm，由N=2500匝的绝缘导线均匀密绕面成，铁芯的相对磁导率μr=1000，当导线中通有电流I=2.0A时，求：boo`bI图16.21（1）环内中心轴线上处的磁能密度；（2）螺绕环的总磁能．[解答]（1）设螺绕环单位长度上的线圈匝数为n=N/L，中心的磁感应强度为B=μnI，其中μ=μrμ0．磁场强度为H=B/μ=nI，因此中心轴线上能量密度为2111()222wBHnIBH72125001000410(2)20.5=2π×104(J·m-3)．（2）螺绕环的总体积约为V=b2L，将磁场当作匀强磁场，总磁能为W=wV=2π×104×(0.015)2×0.5=2.25π=7.07(J)．16.22试证：平行板电容器中的位移电流可写成dddUICt的形式，式中C是电容器的电容，U是两板间的电势差．对于其他的电容器上式可以应用吗？[证明]根据麦克斯韦理论：通过电场任意截面的位移电流强度等于通过该截面电位移通量的时间变化率，即Id=dΦD/dt．在平行板电容器中，由于ΦD=DS，而电位移D等于电容器的面电荷密度，即D=σ．因为电容器带电量为q=σS=DS=ΦD，所以Id=dq/dt，即：位移电流等于极板上电量的时间变化率．根据电容的定义C=q/U，可得Id=CdU/dt．其他电容器可以看作由很多平等板电容器并联而成，总电容等于各电容之和，所以此式对于其他电容器也可以应用．16.23如果要在一个1.0PF的电容器中产生1.0A的位移电流，加上电容器上的电压变化率为多少？[解答]因为Id=CdU/dt，所以电压变化率为dU/dt=Id/C=1/10-12=1012(V·s-1)．16.24在圆形极板的平行板电容器上，加上频率为50Hz，峰值为2×105V的交变电压，电容器电容C=2PF，求极板间位移电流的最大值为多少？[解答]交变电压为U=Umcos2πνt，位移电流为Id=CdU/dt=-CUm2πνsin2πνt，电流最大值为Im=CUm2πν=2×10-12×2×105×2π×50=4π×10-5(A)．16.25一平行板电容器的两极板面积为S的圆形金属板，接在交流电源上，板上电荷随时间变化，q=qmsinωt．求：（1）电容器中的位移电流密度；（2）两极板间磁感应强度的分布．[解答](1)平行板电容器的面电荷密度为σ=q/S，位移电流密度为ddcosddmdqqttStS．（2）在安培-麦克斯韦环路定律中dLIIlHd，两极板间没有传导电流，即I=0．由于轴对称，在两板之间以轴为圆心作一个半径为r的圆，其周长为C=2πr，使磁场的方向与环路的方向相同，左边为rHlHL2ddLlH．环路所包围的面积为S`=πr2，右边的位移电流为2`(cos)mddqIStrS．因此，两极板间磁场强度的分布为cos2mqrHtS，磁感应强度的分布为00cos2mqrBHtS．16.26如图所示，电荷+q以速度v向O点运动（电荷到O点的距离以x表示）．以O点O圆心作一半径为a的圆，圆面与v垂直．试计算通过此圆面的位移电流．[解答]在圆面上取一半径为R的环，其面积为dS=2πRdR，环上任一面元的法线方向与场强方向之间的夹角为φ，场强大小为E=q/4πε0r2，其中r=(x2+R2)1/2，通过环的电通量为dΦe=E·dS=EdScosφ，其中cosφ=x/r，所以得3223/200ddd22()eqxRRqxRRrxR，积分得电通量为22223/200d()22()aeqxxRxR220(1)2qxxa．由于电位移强度D和电场强度E的关系为D=ε0E，Oqravxθ图16.26a所以电位移通量和电通量之间的关系为Φd=ε0Φe，因此点电荷在圆面上通过的电位移通量为22(1)2dqxxa．当电荷q以速度v向O运动时，可认为圆面以dx/dt=-v向电荷运动，因此，通过此圆面的位移电流为ddddIt2222222()()/[]2qxavxvxaxa2223/22()qavxa．16.27在真空中，一平面电磁波的电场为70.3cos[210()]yxEtc(V·m-1)．求：（1）电磁波的波长和频率；（2）传播方向；（3）磁场的大小和方向．[解答]（1）电磁波的角频率为ω=2π×107(rad·s-1)，频率为ν=ω/2π=107(Hz)．波长为λ=cT=c/ν=3×108/107=30(m)．（2）电磁波的传播方向为x方向．（3）磁场的方向在z方向，由于00yzEH，所以磁场强度为0000001zyyyHEEEc871310410yE71cos[210()]400xtc．磁感应强度为01zzyBHEc9710cos[210()]xtc．71cos[210()]400xtc．磁感应强度为01zzyBHEc9710cos[210()]xtc．16.28一个长直螺线管，每单位长度有n匝线圈，载有电流i，设i随时间增加，di/dt0，设螺线管横截面为圆形，求：（1）在螺线管内距轴线为r处某点的涡旋电场；（2）在该点处坡印廷矢量的大小和方向．[解答]（1）长直螺线管通有电流i时，在轴线上产生的磁感应强度为μ0ni，B=磁场是均匀的，也是轴对称的．以轴线上某点为圆心，以r为半径作一环路，环路的周长为C=2πr，面积为S=πr2，根据电场的环路定理SBlΕddddSLkt，可得2πrE=-πr2dB/dt，因此涡旋电场为0d2dnriEt，负号表示涡旋电场的方向与环路的环绕方向相反．（2）管中磁场强度为H=B/μ0=ni．坡印廷矢量为S=E×H，其大小为20d2dnriSEHit．当di/dt0时，S的方向沿径向指向轴线；当di/dt0时，S的方向沿径向向外．oirEBSidl