大学物理2-212章习题详细答案

PdL0dxxxydEd习题1212-3．如习题12-3图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。[解]建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷元xLqqdd，它在P点产生的电电场强度度为xxdLLqxdLqEd41d41d2020则整个带电直导线在P点产生的电电场强度度为dLdqxxdLLqEL002041d41故iEdLdq0412-4．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，试求圆心处点O的场强。[解]将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl，带电量lRQqdddq在O点的电场强度20204d4ddRlRQRqE从对称性分析，y方向的电场强度相互抵消，只存在x方向的电场强度lRQEEdsin4sindd302xddRld4sind202xRQE2020202xx2d4sindRQRQEEE方向沿x轴正方向12-5.如习题12-5图所示，一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，沿轴向单位长度上的带电量为，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。[解]d对应的无限长直线单位长带的电量为ddq它在轴线O产生的电场强度的大小为RRqE0202d2dd因对称性ydE成对抵消REE02x2dcoscosdddRREE022002x2dcos2d12-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心点O处的场强。[解]将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r，到球心距离为x，所带电量绝对值lrqd2d。在O点产生的电场强度(利用圆环轴线电场强度公式)23220x4ddrxqxE带电半球壳在O点的总电场强度2322023220xx424ddrxrdlxrxqxEE由于cosRx，sinRr，ddRl所以0200200200x42cos82d2sin8dcossin2EE方向沿x轴负向12-7．如习题12-7图所示，A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E0，两平面外侧电场强度大小都是03E，方向如图。求两平面A、B上的面电荷密度A和B。[解]无限大平面产生的电场强度为02E则0AA2E0BB2E3222200A0B00A0BEE解得00A32E00B34E12-8．一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为=Ar(r≤R)，0(rR)，A为常量。试求球内、外的场强分布。[解]在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。应用高斯定理有024qrEq为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dqrArrrqd4d4d32dlxOrE0/3E0/3E0ABr≤R时403d4ArrArqr解得024ArE(r≤R)(或204ArrEe)rR时高斯面内包围的是带电体的总电量Q4030d4dARrArqQRR应用高斯定理024QrE2044rARE(rR)(或rE2044rAR)当A0时，电场强度方向均径向向外；当A0时，电场强度方向均指向球心。12-9．有一带电球壳，内、外半径分别为R1和R2，体电荷密度rA，在球心处有一点电荷Q，求当A取什么值时，球壳区域内(R1rR2)的场强E的大小与r无关。[解]以同心球面为高斯面，电通量为024dqErSSEQRrAQdrrqrR21220202dsind12021242rQRrAE当212RQA时02AE与r无关。因此得证。12-10．一球体内均匀分布着体电荷密度为的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球体，球心为O，两球心间距离OOd，如习题12-10图所示。求：(1)在球形空腔内，球心O处的电场强度OE；(2)在球体内点P处的电场强度E。设O、O、P三点在同一直径上，且OP=d。[解]在空腔内分别填上密度为的电荷和密度为的电荷。(1)O处的电场强度是密度为的大球和的小球所产生的电场强度的叠加。大球产生电场强度：在球体内做半径为d的同心高斯球面，应用高斯定理032344ddE03dE习题12-10图OrPxdO而小球产生电场强度由于对称性为0因此O点的电场强度iE0O3d(2)P点的电场强度也是两球电场强度的叠加。同理大球产生的电场强度iE03d小球产生的电场强度0323444rdEiE20312dr合电场强度iiE2302030P43123drddrd12-11．一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为4Rqr(r≤R)0(rR)试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。[解]（1）带点球体的总电量：qrrRqrqQRR0240d4d（2）在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。应用高斯定理有024内qrE内q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dqrrRqrrqd4d4d342r≤R时44034d4rRqrrRqqr内解得4024RqrE(r≤R)(或2404qrRrEe)rR时高斯面内包围的是带电体的总电量q应用高斯定理024qrE204rqE(rR)方向沿径向(或204qrrEe)当q0时，电场强度方向均径向向外；当q0时，电场强度方向均指向球心。（3）)(412)(d4d4d330R20402RrRrRqRrrrqrRqrrEURrr)(4)(d4d0r20RrrqRrrrqrEUr12-12．如习题12-12图所示，在Oxy平面内有与y轴平行、位于2ax和ax21处的两条无限长平行均匀带电直线，电荷线密度分别为+和。求z轴上任一点的电场强度。[解]无限长带电直线在线外任一点的电电场强度度rE02所以P点的电场强度21220λ42zaE21220λ42zaE由对称性知合电场强度的z方向分量为零，x方向分量cos2λxEE而212242coszaa所以220λ42cos2zaaEE方向指向x轴负方向12-13．如习题12-13图所示，在半径为R，体电荷密度为的均匀带电球体内点O处放一个点电荷q。试求：点O、P、N、M处的场强(O、O、P、N、M在一条直线上)。[解]由电场叠加原理2OO0qO4rqEEE球E--a/2xyz-a/2O+PExE+20OO4qrOEi0OM2NO02ON03OM2NO0qN344344rrqrrrqEEE球OM20ON0()43rqrNEi0OP2PO02OP03OP2PO0qP344344rrqrrrqEEE球OPP20OP0()43rqrEi2OM032NO02OM032MO0qM344344rRrqrRrqEEE球3M220ON0OM()43qRrrEi12-14．如习题12-14图所示一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径R，内半径为R/2，并有电量Q均匀分布在环面上。细绳长3R，也有电量Q均匀分布在绳上，试求圆环中心处的电场强度（圆环中心在细绳的延长线上）。【解】：以悬点为坐标原点，建立竖直向下为x轴的正方向，在x位置处任取一微元dx，在圆环中处的电场强度为122001d1dd44434qQExRxRRx则这个细绳上的电荷在圆心处产生的电场强度为332000011d412434RRQQExRRxRRx32000112416RQQRRxR环形薄片上的电荷在圆心处产生的电场强度为零，因此所有电荷在环心处产生的电场强度为20=16QER总方向竖直向下12-15．电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的点P的电势(以无穷远为R3R2/R零电势点)。[解]取如图所示的电荷元dq，xlqqd2d，它在P点产生的电势为xalxlqxalqu2d82d41d00则整个带电直线在P点产生的电势为aallqxalxlqxalxlqUl2ln82d82d80200012-16．习题12-16图为两个半径均为R的非导体球壳，表面上均匀带电，带电量分别为+Q和-Q，两球心距离为d(d2R)，求两球心间的电势差。[解]设带正电的球壳中心的电势为1U，带负电的为2U。根据电势叠加原理有dQRQU00144dQRQU00244两球心间的电势差dRQdQRQUUU11222000211212-17.两根半径都是R的无限长直线，彼此平行放置，两者轴线间距为d(d2R)，单位长度上的带电量分别为+和-,求两直线间的电势差。[解一]由高斯定理可求出，两导线之间任一点的电电场强度度为rdrE0022两导线间的电势差为RRdrrdrrURdRRdRRdRlnd2d2d000rE[解二]由带正电直导线产生电势差为RRdrrURdRRdRln2d2d00ABrE由带负电直导线产生电势差为RRdrrURRdRRdln2d2d00ABrE因此两导线间的电势差为PxdqdxOx习题12-16图d+QRO1O2R-Q-RE-xdPrd-rOER+RRdUUUln0ABAB12-18.如习题12-18图所示，电荷面密度分别为+和-的两块无限大均匀带电平面，处于与平面垂直的x轴上的-a和+a的位置上。设坐标原点O处的电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。[解]无限大带电平板外电场强度的大小为02E001300100012dd0dddd0aUaxxrEUaxaaUaxEaaxxaaxlElElElElE因此因此因此电势分布曲线12-19.如习题12-19图所示，两无限长的同轴均匀带电圆筒，内筒半径为R1，单位长度带电量为1，外筒半径为R2，单位长度带电量为2。求：图中a、b两点间的电势差Uab；当零参考点选在轴线处时，求Ua。[解]以垂直于轴线的端面与半径为r，长为l，过所求场点的同轴柱面为封闭的高斯面。rlES2dSE根据高斯定理qS01dSE所以202121011220RrrRrRrRrE2b02ab01abln2ln2ddb22aRRRRrErEURRRR外内a101aOaln2d1aRRrEUURR内-a/0a/0a-aOU