大学物理书后习题答案

[习题解答]9-3两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图9-9所示的位置。如果角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为.解小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力mg、绳子的张力T和库仑力f。于是可以列出下面的方程式,(1),(2)(3)因为角很小，所以,.利用这个近似关系可以得到,(4).(5)将式(5)代入式(4)，得图9-9,由上式可以解得.得证。9-4在上题中，如果l=120cm，m=0.010kg，x=5.0cm，问每个小球所带的电量q为多大？解在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得.9-5氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r0=5.291011m。质子的质量M=1.671027kg，电子的质量m=9.111031kg，它们的电量为e=1.601019C。(1)求电子所受的库仑力；(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。解(1)电子与质子之间的库仑力为.(2)电子与质子之间的万有引力为.所以.(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以,从上式解出电子绕核运动的速率，为.9-6边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为.(2)F的方向如何？解立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如B角上的qB，它所受到的力、和大小也是相等的，即.首先让我们来计算的大小。图9-10由图9-10可见，、和对的作用力不产生x方向的分量；对的作用力f1的大小为,f1的方向与x轴的夹角为45。对的作用力f2的大小为,f2的方向与x轴的夹角为0。对的作用力f3的大小为,f3的方向与x轴的夹角为45。对的作用力f4的大小为,f4的方向与x轴的夹角为，。于是.所受合力的大小为.(2)F的方向：F与x轴、y轴和z轴的夹角分别为、和，并且,.9-7计算一个直径为1.56cm的铜球所包含的正电荷电量。解根据铜的密度可以算的铜球的质量.铜球的摩尔数为.该铜球所包含的原子个数为.每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为1.6021019C，所以铜球所带的正电荷为.9-8一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度E，我们就把一个带正电的试探电荷q0引入该点，测定F/q0。问F/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度E？解这样测得的F/q0是小于该点的电场强度E的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动，q0受力F减小了。9-9根据点电荷的电场强度公式,当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？解当r0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。9-10离点电荷50cm处的电场强度的大小为2.0NC1。求此点电荷的电量。解由于,所以有.9-11有两个点电荷，电量分别为5.0107C和2.8108C，相距15cm。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。解已知=5.0107C、=2.8108C，它们相距r=15cm，如图9-11所示。(1)在点B产生的电场强度的大小为,方向沿从A到B的延长线方向。在点A产生的电场强度的大小为,方向沿从B到A的延长线方向。(2)对的作用力的大小为,方向沿从B到A的延长线方向。对的作用力的大小为.方向沿从A到B的延长线方向。9-12求由相距l的q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：(1)轴的延长线上距轴心为r处，并且rl；图9-11(2)轴的中垂面上距轴心为r处，并且rl。解(1)在轴的延长线上任取一点P，如图9-12所示，该点距轴心的距离为r。P点的电场强度为.在rl的条件下，上式可以简化为.(1)令,(2)这就是电偶极子的电矩。这样，点P的电场强度可以表示为.(3)(2)在轴的中垂面上任取一点Q，如图9-13所示，该点距轴心的距离为r。Q点的电场强度为也引入电偶极子电矩，将点Q的电场强度的大小和方向同时表示出来：.9-13有一均匀带电的细棒，长度为L，所带总电量为q。求：(1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且aL；图9-12图9-13(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且aL。解(1)以棒中心为坐标原点建立如图9-14所示的坐标系。在x轴上到O点距离为a处取一点P，在x处取棒元dx，它所带电荷元为dx，该棒元到点P的距离为ax，它在P点产生的电场强度为.整个带电细棒在P点产生的电场强度为,方向沿x轴方向。(2)坐标系如图9-15所示。在细棒中垂线(即y轴)上到O点距离为a处取一点P，由于对称性，整个细棒在P点产生的电场强度只具有y分量Ey。所以只需计算Ey就够了。仍然在x处取棒元dx，它所带电荷元为dx，它在P点产生电场强度的y分量为.整个带电细棒在P点产生的电场强度为,方向沿x轴方向。图9-14图9-159-14一个半径为R的圆环均匀带电，线电荷密度为。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。解以环心为坐标原点，建立如图9-16所示的坐标系。在x轴上取一点P，P点到盘心的距离为a。在环上取元段dl，元段所带电量为dq=dl，在P点产生的电场强度的大小为.由于对称性，整个环在P点产生的电场强度只具有x分量Ex。所以只需计算Ex就够了。所以.9-15一个半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。解取盘心为坐标原点建立如图9-17所示的坐标系。在x轴上取一点P，P点到盘心的距离为a。为计算整个圆盘在P点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环，该圆环在P点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即,的方向沿x轴方向。整个圆盘在P点产生的电场强度，可对上式积分求得.图9-16图9-179-16一个半径为R的半球面均匀带电，面电荷密度为。求球心的电场强度。解以球心O为坐标原点，建立如图9-18所示的坐标系。在球面上取宽度为dl的圆环，圆环的半径为r。显然,圆环所带的电量为.根据题9-14的结果，该圆环在球心产生的电场强度为,方向沿x轴的反方向。由图中可见，,,将这些关系代入上式，得.所以,E的方向沿x轴的反方向。9-19如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面S内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为E，另一类是处于高斯面S外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为E，显然高斯面上任一点的电场强度E=E+E。试证明：(1)；图9-18(2)。解高斯面的电通量可以表示为.显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。高斯定理表述为“通过任意闭合曲面S的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以0，而与S以外的电荷无关。”可见，高斯面S以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为.(1)所以，关系式的成立是高斯定理的直接结果。因为,于是可以把高斯定理写为.将式(1)代入上式，即得.(2)9-20一个半径为R的球面均匀带电，面电荷密度为。求球面内、外任意一点的电场强度。解由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。在球内任取一点，到球心的距离为r1，以r1为半径作带电球面的同心球面S1，如图9-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得,由此解得球面内部的电场强度为.在球外任取一点，到球心的距离为r2，以r2为半径作带电球面的同心球面S2，如图9-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得,即.由此解得,E2的方向沿径向向外。9-21一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为。求圆柱体内、外任意一点的电场强图9-19度。解显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面S1(见图9-20)作为高斯面并运用高斯定理.上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为,于是得,方向沿径向向外。用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面S2，如图9-20所示。在S2上运用高斯定理，得.根据相同的情况，上面的积分可以化为,由上式求得图9-20,方向沿径向向外。9-22两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为，两板相距d。当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。(1)求两板之间的电场强度；(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.5108s的时间撞击在对面的正电板上，若d=2.0cm，求电子撞击正电板的速率。解(1)在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙中。作底面积为S的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图9-21所示。在此高斯面上运用高斯定理，得,由此解得两板间隙中的电场强度为.(2)根据题意可以列出电子的运动学方程,.图9-21两式联立可以解得.9-24一个半径为R的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。解先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。在球内：，根据高斯定理，可列出下式,解得,方向沿径向向外。在球外：，根据高斯定理，可得,解得,方向沿径向向外。球内任意一点的电势：,().球外任意一点的电势：,().9-25点电荷+q和3q相距d=1.0m，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。解(1)电势为零的点：这点可能处于+q的右侧，也可能处于+q的左侧，先假设在+q的右侧x1处的P1点，如图9-22所表示的那样可列出下面的方程式.从中解得.在+q左侧x2处的P2点若也符合电势为零的要求，则有.解得.(2)电场强度为零的点：由于电场强度是矢量，电场强度为零的点只能在+q的左侧，并设它距离+q为x，于是有.图9-22解得.9-26两个点电荷q1=+40109C和q2=70109C，相距10cm。设点A是它们连线的中点，点B的位置离q1为8.0cm，离q2为6.0cm。求：(1)点A的电势；(2)点B的电势；(3)将电量为2510-9C的点电荷由点B移到点A所需要作的功。解根据题意，画出图9-23。(1)点A的电势：.(2)点B的电势：.(3)将电荷q从点B移到点A，电场力所作的功为,电场力所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功。图9-239-27一个半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。解以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x轴，建立如图9-24所示的坐标系。在x轴上任取一点P，点P的坐标为x。在盘上取半径为r、宽为dr的同心圆环，该圆环所带电荷在点P所产生的电势可以表示为.整个圆盘在点P产生的电势为.由电势求电场强度.9-28一个半径为R的球面均匀带电，球面所带总电量为Q。求空间任意一点的电势，并由电势求电场强度。解在空间任取一点P，与球心相距r。在球面上取薄圆环，如图9-25中阴影所示，该圆环所带电量为.该圆环在点P产生的电势为.(1)图9-24图9-25式中有两个变量，a和，它们之间有下面的关系：,微分得.(2)将上式代入式(1)，得.如果点P处于球外，，点P的电势为.(3)其中Q=4R2.如果点P处于球内，，点P的电势为.(4)由