大学物理第7章练习

1第七章真空中的静电场7－1在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消，单位正电荷所受的力为)41()22(420aqF＝,2520aq方向由q指向-4q。7－2如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。（1）求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。解：（1）如图7－2图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝dx，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为r，则2020)(4)(4xrdxxrdxdE则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为)11(4)(40020rLrxrdxEL＝)(40LrrL方向沿x轴正向。（2）如图7－2图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y204rdxdEcos420rdxdEy，sin420rdxdEx因cos,cos,2yrdydxytgx，代入上式，则)cos1(400y＝)11(4220Lyy，方向沿x轴负向。q2q-4q2q习题7－1图0dqxdx,P习题7－2图ardydEExx000sin40dqxdx,P习题7－2图bydEyQ002dydEEyy000cos400sin4y＝2204LyyL7－3一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。解：如图，在半环上任取dl=Rd的线元，其上所带的电荷为dq=Rd。对称分析Ey=0。sin420RRddExdRdEEx200sin42R022022Rq，如图，方向沿x轴正向。7－4如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。解：在λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，xE012两线间的相互作用力为xdxdFF0212laxdx0212,ln2021ala如图，方向沿x轴正向。7－5两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为204)(rqQqF相互作用力最大的条件为04220rqQdqdFddExy习题7－3图Raλ1λ2习题7－4图0xdq3由上式可得：Q=2q，q=Q/27－6一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为dRrRddqsin222dq在o点产生的电场据（7－10）式为304RydqdE，cosRydRRdEEcos4sin200303)(sinsin2000d20202sin204。如图，方向沿y轴负向。7－7设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。解：如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2，成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，即021SSSSdESdESdE2211RESdESdESSS7－8求半径为R，带电量为q的空心球面的电场强度分布。解：由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为04d21rESSE得0内E（rR）024d2qrESSErrˆ204q外E(rR)yr习题7－6图oS2S1E习题7－7图r0R习题7－18图47－9如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分界面上电场强度为零，取坐标原点在此界面上，建立如图坐标。对底面积为A，高度分别为xd/2和xd/2的高斯曲面应用高斯定理，有01dAxEASSE得)2(01dxixE02d2dAEASSE)2(202dxidE＝7－10一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为)(0Rrr，ρ0为常数。求场强分布。解：据高斯定理有VSdVrlESdE012Rr时：rrldrrrlE00022rrdrl02002rlE232300rlnerE0203Rr时：RrldrrrlE00022Rrdrl02002rlE232300RlnerRE03037－11带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R2、R3。（1）球壳的电荷及电势分布；（2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布；（3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。解：（1）静电平衡，球壳内表面带－q，外表面带q电荷。据（7－23）式的结论得：),)(111(4132101RrRRRqVd习题7－9图0xE习题7－10图ro5);)(111(4213202RrRRRrqV),(432303RrRRqV).(4304RrrqV（2）),)(11(412101RrRRqU);)(11(421202RrRRrqV),(0323RrRV).(034RrV（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带－q/，外表面带q/－q。),)((41132101RrRqqRqRqV得：21313221RRRRRRqRRq3034RqqV)(4)(213132021RRRRRRqRR)(32RrR7－12一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2rR)，试证明球形空腔中任意点的电场强度为匀强电场，其方向沿带电球体球心O指向球形空腔球心O/。证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R的大球和一个半径为r与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7－7〕结果为0311rE,0322rEE=E1+E2=031r032roo03上式是恒矢量，得证。oR1R2R3q-qq习题7－11图oo/pr2r1习题7－12图67－13一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为R1、R2，且电荷面密度为σ。一质子被加速器加速后，自圆环轴线上的P点沿轴线射向圆心O。若质子到达O点时的速度恰好为零，试求质子位于P点时的动能EK。（已知质子的带电量为e，忽略重力的影响，OP=L）解：圆环中心的电势为210042RRrrdrV)(2120RR圆环轴线上p点的电势为2122042RRPLrrdrV)(22221222022021LRLRLrRR质子到达O点时的速度恰好为零有kPEEE0pkEEE0pkeVeVE0=210()2eRR2222210()2eRLRL222221210()2eRRRLRL7－14有一半径为R的带电球面，带电量为Q，球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为L（LR），细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=dr，据（7－23）式带电球面在电荷元处产生的电势为rQV04电荷元的电势能为:rdrQdW04细线在带电球面的电场中的电势能为：LLrdrQdWW2042ln40Q*7－15半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为L。试求P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。解：P到盘心的距离为L，p点的电势为RPLrrdrV022042R2oR1xp习题7－13图orQdr习题7－14图7)(2222200220LLRLrR圆盘轴线上任意点的电势为RxrrdrxV022042)()(22222200220xxRRQxrR利用电场强度与电势的梯度关系得：ixRxRQidxdVxE)1(2)(22220P到盘心的距离为L，p点的电场强度为：iLRLRQLE)1(2)(222207－16两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？解：（1）据（7－23）式的结论得各区城电势分布为),()(411221101RrRQRQV);()1(41212102RrRRrQV).(420213RrrQQV（2）两球面间的电势差为drrQVRR21201124)11(42101RRQ7－17一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。解：据高斯定理有Rr时：022lrrlESdESnerE02Rr时，V=0，则Rr时：RrrdrV02)(4220rRp习题7－15图xooQ1Q2R1R2习题7－16图习题7－10图ro8Rr时：022lRrlESdESnerRE022RrrdrRV022rRRln202空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。7－18两根很长的同轴圆柱面半径分别为R1、R2，带有等量异号的电荷，两者的电势差为U，求：（1）圆柱面单位长度带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。解：设圆柱面单位长度带电量为，则两圆柱面之间的电场强度大小为rE02两圆柱面之间的电势差为rdrU022102RRrdr120ln2RR由上式可得：120ln2RRU所以nerE02)(ln2112RrRerRRUn7－19在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，如果释放出来的能量都用来使00C的冰熔化成00C的水，则可融化多少冰?（冰的熔解热为3.34×105J﹒kg-1)解：两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，其电势能为JWp91030上式释放出来的能量可融化冰的质量为：591034.31030m8.98×104kg7－20在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。（1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？解：电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为aeeWp04（1）把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为：aeWWp024外RroV习题7－18图ro9（2）电子在玻尔轨道上运动的总能