大学物理第三章题解

1第三章经典运动学3-1．判断以下表达式的正误：（1）0limtvat；（2）ddvat；（3）vr；（4）av．解（1）正确．（2）错；一般tddv|a|at．（3）与（4）均错；矢量和标量不能相等．3-2．如图，高出水面h处岸边有人经定滑轮用绳拉水面的小船，t时刻绳长为0l，人收绳的速率为0v，求此时刻小船之速率．设人、绳、船在同一竖直平面内．解沿水面建立坐标系Ox，设绳长为l，所以222xhl对时间求导数得dd22ddxlxltt由于收绳速率0ddlvt，小船速率ddxvt，因此0022llvvvxlh，t时刻000220llvvvxlh3-3．已知质点的运动学方程2286rtitjk（国际单位制），求质点运动轨道、速度和加速度．解由2286xtytz中消去t，即得到轨道方程226yxz（国际单位制）．速度2dd(286)216(ms)ddrvtitjkitjtt加速度2dd(216)16(ms)ddvaitjjtt3-4．质点沿Ox轴运动，其加速度2cosxaAt，0t时0xv、xA，其中A、为正值常量．求此质点的运动学方程．解由2dcosdxxvaAtt可得2dcosdxvAtt作定积分，由初始条件0t时0xv确定积分下限200dcosdxvtxvAtt把上式右侧积分变量换为t00dcosdxvtxvAtt则得到00sinxvtxvAtsinxvAt2再由dsindxxvAtt得到dsindxAtt做定积分，由初始条件0t时xA确定积分下限00dsindsindxttAxAttAtt0cosxtAxAt所以质点运动学方程为cosxAt3-5．如图极坐标系，有一质点沿垂直于极轴Ox、到O点距离OAa的直线以匀速率0v运动，求质点位于P点时的加速度分量ra、a．解因为v常矢量，所以0a，0ra、0a．3-6．直管OA绕O点在平面内转动，管与其初始方向的夹角随时间线性增加，比例系数为c．初始时有一质点P由O点出发沿管向A端运动，P点与O点距离亦随时间线性增加，比例系数为b．试求质点的轨道方程、速度和加速度．解以O点为极点，沿管的初始方向建立极轴Ox，规定极角的正方向为管转动的方向．设初始时0t，由题意可知质点的运动学方程为rbt，ct由运动学方程消去t即得到质点的轨道方程rbc（阿基米德螺旋线）．质点的速度和加速度为rrvrerebebcte22()(2)2rrarrerrebctebce3-7．有一根细杆在水平面内绕其一端O转动，角速度不变，其大小为．一小虫由0t开始，从O点沿杆向外爬动，小虫到O点的距离与2t成正比，比例系数为a．求小虫的速度和加速度．解以O为极点，沿细杆的初始方向建立极轴Ox，规定极角的正方向为细杆转动的方向．设初始时0t，由题意可知2rat，所以小虫（质点）的速度和加速度为22rrvrereateate222()(2)(2)4rrarrerreaateate3-8．如果质点的切向加速度ta和法向加速度na为以下情况，试问质点作何种运动？（1）t0a，n0a；（2）t0a，n0a；（3）t0a，n0a；（4）t0a，n0a．解t0as，则s常数，说明质点做匀速率运动．2n0va和0v，则，说明质点做直线运动．所以（1）匀速率直线运动；（2）变速率直线运动；（3）匀速率曲线运动；（4）变速率曲线运动．33-9．汽车在半径为100m的圆弧形轨道上刹车，自刹车开始其弧长方程为310stt（单位分别为m、s），求汽车在1st时的速度和加速度．解以圆弧轨道上的刹车点为原点，汽车运动方向为弧长正方向建立自然坐标，则310stt2tttt(103)vvesete224tttntn1006096100vttaveeteeR当1ts时，t7ve，tn60.49aee，单位分别为m、s．3-10．一质点从静止出发沿半径为2mR的圆周运动，切向加速度2t2msa，问经过多长时间它的加速度矢量与半径成45角？在这段时间内质点经过的路程为多少？解因0t时t0v，由ttddvat，即ttddvat，所以ttt00ddvtvat可求出tt2vatt．因此22tn2vatR加速度矢量与半径成45角，t2n1tg451aat，此时1st．根据d2dtsvtt，即d2dstt，所以100d2dsstt可知在0t到1st时间内质点经过的路程为1ms．（第三章题解结束）