大学物理练习册习题及答案5--振动学基础

习题及参考答案第四章振动学基础参考答案思考题4-1什么是简谐振动？试分析以下几种运动是否是简谐振动？(1)拍皮球时球的运动；(2)一小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动；（3）一质点分别作匀速圆周运动和匀加速圆周运动，它在直径上的投影点的运动。4-2如果把一弹簧振子和一个单摆拿到月球上去，振动的周期如何改变？4-3什么是振动的相位？一个弹簧振子由正向最大位移开始运动，这时它的相位是多少？经过中点，到达负向最大位移，再回到中点向正向运动，上述各处相应的相位各是多少？4-4一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为（）(A)12s；(B)10s；(C)14s；(D)11s。4-5一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为A/2,且向x轴的正方向运动；代表此简谐振动的雄转矢量图为（）4-6一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相应为（）(A)π／6；（B）5π/6；（C）-5π/6；（D）-π／6；4-7把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ,然后由静止放手任其振从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为（）(A)θ；(B)π；（C）0；（Dπ/2。4-8如图所示，质量为m的物体由倔强系数为k1和k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动,则系统的振动频率为（）(A)Ao(B)(C)(D)oooAAAxxxxA21A21A21A21思考题4-5图思考题4-6图v(m/s)vmmv21ot(s)oAxt(s)5A21思考题4-4图（A）122kkmν（B）1212kkmν（C）121212kkmkkν（D）121212kkmkkν4-9一倔强系数为k的轻弹簧截成三等分，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为（）(A)12km(B)162km(C)132km(D)123km4-10一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E1变为（）(A)E1/4;(B)E1/2；(C)2E1;(D)4E1。4-11一质点作简谐振动，周期为T。当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程中所需要的时间为（）(A)T/4；(B)T/12；(C)T/6;(D)T/8。4-12一长为l，倔强系数为k的均匀轻弹簧分割成长度分别为l1和l2,的两部分，且l1=nl2，n为整数，则相应的倔强系数k1和k2为（）(A)1211,knkkknn(B)1211,knkkknn(C)1211,knkkknn(D)1211,knkkknn习题4-1质量为31010kg的小球与轻弹簧组成的系统，按201cos83xt.(SI)的规律作振动。求:(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、最大速度及最大加速度；(2)t=1s，2s，5s，10s等各时刻的相位；(3)分别画出该振动的x-t图线、v-t图线和a-t图线。4-2有一轻弹簧，当下端挂一个质量ml=l0g的物体而平衡时，伸长量为4.9cm，用这个弹簧和质量m2=16g.的物体连成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为x轴的正方向，将m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度v0＝5cm/s并开始计时，试求km思考题4-9图mk1k2思考题4-8图m2的振动周期和振动的数值表达式。4-3一质点作简谐振动，其振动方程为11024cos23xt.(SI)试用旋转矢量法求出质点由初始状态(t=0的状态)运动到x=-0.12m,v0的状态所需最短时间∆t。4-4一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm，现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg，待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。问：（1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？两者在何位置开始分离？4-5一物体放置在平板上，此板沿水平方向作谐振动。已知振动频率为2Hz，物体与板面最大静摩擦系数为0.5。问：要使物体在板上不发生滑动，最大振幅是多少？4-6一台摆钟的等效摆长l=0.995m，摆锤可上下移动以调节其周期。该钟每天慢2分10秒，若将此摆当作质量集中在摆锤中心的单摆来估算，则应将摆锤向上移动多少距离，才能使钟走得准确？4-7一弹簧振子沿x轴作简谐振动，已知振动物体最大位移为xm=0.4m，最大恢复力为Fm=0.8N，最大速度为0.8πm/smv，又知t=0的初位移为＋0.2m。且初速度与所选x轴方向相反。(1)求振动能量；（2）求此振动的表达式。4-8已知两个在同一直线上的简谐振动的振动方程分别为13005cos105xt.(SI)21006cos105xt.(SI)（1）求它们合成振动的振幅和初相；(2)另有一同方向的简谐振动3007cos10xt.(SI)。问为何值时，x1+x3的振幅为最大？为何值时x2+x3的振幅最小？(3)用旋转矢量图示法表示（1）、(2)两小题的结果。4-9一定滑轮的半径为R,转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示，设弹簧的倔强系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。4-10边长l=0.l0m，密度ρ=900kg·m-3的正方形木块浮在水面上。今把木块恰好完全压人水中，然后从静止状态放手。假如不计水对木块的阻力，并设木块运动时不转动。（l）木块将作什么运动(2)求木块质心（重心）运动规律的数值表达式。（水的密度ρ’=1000kg·m-3并取竖直向上方向为x轴的正方向）m习题4-9图第四章振动学基础参考答案思考题4-1答：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或者角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫简谐运动。也可从动力学角度来说明：凡是物体所受合外力（或合外力矩）与位移（或角位移）成正比而方向相反，则物体作简谐振动。（1）不是简谐振动。从受力角度看，它受到地面的作用力，虽然是弹性力，但这外力只是作用一瞬间，而后就只在重力作用下运动。从运动规律来看，虽然是作往复运动，但位移时间关系并不是余弦（正弦）函数，而是作匀变速运动。（2）是简谐振动。当小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动，若其角位移05，sin，则其运动方程满足微分方程22d0dgtR，所以是简谐振动。（3）作匀速圆周运动的质点在某一直径（取作x轴）上投影点对圆心o的位移随时间t变化规律遵从余弦函数，若设圆周半径为A，角速度为ω，以圆心为坐标原点，质点的矢径经过与x轴夹角为的位置开始计时，则在任意时刻t，此矢径与x轴的夹角为t，而质点在x轴上的投影的坐标为cosxAt，这正与简谐振动的运动方程相同。可见，作匀速圆周运动的质点在直径上的投影点的运动是简谐振动。质点作匀加速圆周运动，在直径上的投影x不是等周期性变化的，而是随着时间变化的越来越快，所以其投影点的运动不是谐振的。4-2答：在月球上，弹簧振子的振动周期不变，仍为2πmTk，但单摆的周期要改变，即2πlTg地地,2π6glTTTgg地月地地月月4-3答：相位是反映质点振动状态的物理量，其值为t，一个弹簧振子正向最大位移开始运动时的相位为零；经过中点时的相位为π2；达到负向最大位移时的相位为π；再回到中点向正向运动时的相位为3π2（或π2）。4-4答：（A）。4-5答：（B）。4-6答：（C）。4-7答：（C）。4-8答：（B）。4-9答：（B）。4-10答：（D）。4-11答：（C）。4-12答：（C）。习题4-1解：（1）20.1cos8ππ3xt与振动方程的标准形式cosxAt相比可知：角频率-18πrads;初周相2π3;振幅0.1mA.可求得2π0.25sT最大速度-1max8π0.1=2.5msAv最大加速度22-2max64π0.163.2msaA(2)相位为t将1,2,5,10st代入，则相位分别为22228π,16π,40π,80π3333。（3）该振动的xt图，vt图和at图如图所示。4-2解：设弹簧的原长为l，悬挂m1后伸长l，则1klmg,12Nmkmgl取下m1挂上m2后,21.2radskm2π0.56sT0t时20210cosxA20510sinAv解得222002.0510mAxv100012.6tgvx或0018012.6应取0192.63.36rad也可写成2.92rad振动的表达式为22.0510cos1.22.92xt4-3解：旋转矢量如图所示。由振动方程可得otx,v,aaxv习题4-1解图t=0tx(m)/3/3AAo0.120.24－0.12－0.24习题4-3解图1π2，1π30.667st4-4解：（1）小物体受力如图所示。设小物体随振动物体的加速度为a，按牛顿第二定律有（取向下为正）mgNmaNmga当0N，即时ag，小物体开始脱离振动物体，已知10cmA-150radsKm系统的最大加速度为2-2max5msaA，此值小于g，故小物体不会离开。(2)如使maxag，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由0N求得2maxgax219.6cmxg即在平衡位置上方19.6cm处开始分离，由2maxaAg，可得219.6cmAg4-5解：因为2maxaA，所以，物体随板一起振动所需力为222maxmax4πFmamAmA此力由板对物的静摩擦力提供，此力的最大值为sfNmg物体在板上不发生滑动的条件是sfF，即224πmgmA2max22220.59.83.110m4π4π2gA4-6解：钟摆周期的相对误差TT等于钟的相对误差tt，等效单摆的周期2πTlg设重力加速度g不变，则有2ddTTll令dTT，dll并考虑到TTtt，则有钟摆向上移动的距离22.99mmlltt钟摆应向上移2.99mm，才能使钟走得准确。4-7解：（1）由题意mFkA，mAx，mmkFx2110.1622mmmEkxFxJmgN习题4-4解图（2）mAv，2mmmAxvv，2πrads，2π1Hzv0t，0cos0.2xA0sin0Av，1π3振动方程为10.4cos2π+π3xt4-8解：（1）2212122cos0.0892mAAAAA11221122sinsintg2.50coscosAAAA1.19rad（2）当12πK时，1x与3x的合成振幅最大为0.12m。32π+π5K当221πK时，与的合成振幅最小为0.01m。121π+π5K（3）用旋转矢量图表示（1），（2）两小题结果如图所示。4-9解：如图所示，取x坐标，平衡位置为原点o，向下为正，m在平衡位置已伸长x0,0mgkx设m在位置x时有20Tkxx（因为弹簧伸长0xx）由牛顿第二定律和转动定律列方程1mgTma12TRTRJaR联立解得2kxaJRm由于x系数为一负常数，故物体作简谐振