习题四4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动:(1)拍皮球时球的运动;(2)如题4-1图所示,一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短).题4-1图解:要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件:一,描述系统的各种参量,如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量;二,系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动;三,在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用.或者说,若一个系统的运动微分方程能用0dd222t描述时,其所作的运动就是谐振动.(1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一,球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置;第二,球在运动中所受的三个力:重力,地面给予的弹力,击球者给予的拍击力,都不是线性回复力.(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动,是谐振动.显然,小球在运动过程中,各种参量均为常量;该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点,即系统势能最小值位置点O;而小球在运动中的回复力为sinmg,如题4-1图(b)所示.题中所述,S<<R,故RS→0,所以回复力为mg.式中负号,表示回复力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的.若以小球为对象,则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动,由牛顿第二定律,在凹槽切线方向上有mgtmR22dd令Rg2,则有0dd222t4-2劲度系数为1k和2k的两根弹簧,与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连接,试证明它们的振动均为谐振动,并分别求出它们的振动周期.题4-2图解:(1)图(a)中为串联弹簧,对于轻弹簧在任一时刻应有21FFF,设串联弹簧的等效倔强系数为串K等效位移为x,则有111xkFxkF串222xkF又有21xxx2211kFkFkFx串所以串联弹簧的等效倔强系数为2121kkkkk串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121kkkkk的弹簧振子系统,故小球作谐振动.其振动周期为2121)(222kkkkmkmT串(2)图(b)中可等效为并联弹簧,同上理,应有21FFF,即21xxx,设并联弹簧的倔强系数为并k,则有2211xkxkxk并故21kkk并同上理,其振动周期为212kkmT4-3如题4-3图所示,物体的质量为m,放在光滑斜面上,斜面与水平面的夹角为,弹簧的倔强系数为k,滑轮的转动惯量为I,半径为R.先把物体托住,使弹簧维持原长,然后由静止释放,试证明物体作简谐振动,并求振动周期.题4-3图解:分别以物体m和滑轮为对象,其受力如题4-3图(b)所示,以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点,沿斜面向下为x轴正向,则当重物偏离原点的坐标为x时,有221ddsintxmTmg①IRTRT21②Rtx22dd)(02xxkT③式中kmgx/sin0,为静平衡时弹簧之伸长量,联立以上三式,有kxRtxRImR22dd)(令ImRkR222则有0dd222xtx故知该系统是作简谐振动,其振动周期为)/2(22222KRImkRImRT4-4质量为kg10103的小球与轻弹簧组成的系统,按)SI()328cos(1.0x的规律作谐振动,求:(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值;(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能,在哪些位置上动能与势能相等?(3)s52t与s11t两个时刻的位相差;解:(1)设谐振动的标准方程为)cos(0tAx,则知:3/2,s412,8,m1.00TA又8.0Avm1sm51.21sm2.632Aam2sm(2)N63.0mmaFJ1016.32122mmvEJ1058.1212EEEkp当pkEE时,有pEE2,即)21(212122kAkx∴m20222Ax(3)32)15(8)(12tt4-5一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子,振幅为A,周期为T,其振动方程用余弦函数表示.如果0t时质点的状态分别是:(1)Ax0;(2)过平衡位置向正向运动;(3)过2Ax处向负向运动;(4)过2Ax处向正向运动.试求出相应的初位相,并写出振动方程.解:因为0000sincosAvAx将以上初值条件代入上式,使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有)2cos(1tTAx)232cos(232tTAx)32cos(33tTAx)452cos(454tTAx4-6一质量为kg10103的物体作谐振动,振幅为cm24,周期为s0.4,当0t时位移为cm24.求:(1)s5.0t时,物体所在的位置及此时所受力的大小和方向;(2)由起始位置运动到cm12x处所需的最短时间;(3)在cm12x处物体的总能量.解:由题已知s0.4,m10242TA∴1srad5.02T又,0t时,0,00Ax故振动方程为m)5.0cos(10242tx(1)将s5.0t代入得0.17mm)5.0cos(102425.0txN102.417.0)2(10103232xmmaF方向指向坐标原点,即沿x轴负向.(2)由题知,0t时,00,tt时3,0,20tvAx故且∴s322/3t(3)由于谐振动中能量守恒,故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222AmkAE4-7有一轻弹簧,下面悬挂质量为g0.1的物体时,伸长为cm9.4.用这个弹簧和一个质量为g0.8的小球构成弹簧振子,将小球由平衡位置向下拉开cm0.1后,给予向上的初速度10scm0.5v,求振动周期和振动表达式.解:由题知12311mN2.0109.48.9100.1xgmk而0t时,-12020sm100.5m,100.1vx(设向上为正)又s26.12,51082.03Tmk即m102)5100.5()100.1()(222222020vxA45,15100.1100.5tan022000即xv∴m)455cos(1022tx4-8图为两个谐振动的tx曲线,试分别写出其谐振动方程.题4-8图解:由题4-8图(a),∵0t时,s2,cm10,,23,0,0000TAvx又即1srad2T故m)23cos(1.0txa由题4-8图(b)∵0t时,35,0,2000vAx01t时,22,0,0111vx又253511∴65故mtxb)3565cos(1.04-9一轻弹簧的倔强系数为k,其下端悬有一质量为M的盘子.现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起,于是盘子开始振动.(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?(2)此时的振动振幅多大?(3)取平衡位置为原点,位移以向下为正,并以弹簧开始振动时作为计时起点,求初位相并写出物体与盘子的振动方程.解:(1)空盘的振动周期为kM2,落下重物后振动周期为kmM2,即增大.(2)按(3)所设坐标原点及计时起点,0t时,则kmgx0.碰撞时,以Mm,为一系统动量守恒,即0)(2vMmghm则有Mmghmv20于是gMmkhkmgMmghmkmgvxA)(21))(2()()(2222020(3)gmMkhxv)(2tan000(第三象限),所以振动方程为gmMkhtMmkgMmkhkmgx)(2arctancos)(214-10有一单摆,摆长m0.1l,摆球质量kg10103m,当摆球处在平衡位置时,若给小球一水平向右的冲量14smkg100.1tF,取打击时刻为计时起点)0(t,求振动的初位相和角振幅,并写出小球的振动方程.解:由动量定理,有0mvtF∴1-34sm01.0100.1100.1mtFv按题设计时起点,并设向右为x轴正向,则知0t时,100sm01.0,0vx>0∴2/30又1srad13.30.18.9lg∴m102.313.301.0)(302020vvxA故其角振幅rad102.33lA小球的振动方程为rad)2313.3cos(102.33t4-11有两个同方向、同频率的简谐振动,其合成振动的振幅为m20.0,位相与第一振动的位相差为6,已知第一振动的振幅为m173.0,求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差.题4-11图解:由题意可做出旋转矢量图如下.由图知01.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos222122122AAAAA∴m1.02A设角为OAA1,则cos22122212AAAAA即01.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos2222122221AAAAA即2,这说明,1A与2A间夹角为2,即二振动的位相差为2.4-12试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅:(1)cm)373cos(5cm)33cos(521txtx(2)cm)343cos(5cm)33cos(521txtx解:(1)∵,233712∴合振幅cm1021AAA(2)∵,334∴合振幅0A4-13一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,振动方程为m)652cos(3.0m)62cos(4.021txtx试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相,并写出谐振方程。解:∵)65(6∴m1.021AAA合3365cos3.06cos4.065sin3.06sin4.0coscossinsintan22122211AAAA∴6其振动方程为m)62cos(1.0tx(作图法略)*4-14如题4-14图所示,两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆,已知x方向的振动方程为cm2cos6tx,求y方向的振动方程.题4-14图解:因合振动是一正椭圆,故知两分振动的位相差为2或23;又,轨道是按顺时针方向旋转,故知两分振动位相差为2.所以y方向的振动方程为cm)22cos(12ty