大学物理课后习题答案第十二章

第12章机械振动习题及答案1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和位移关系的？（1）𝑎=8𝑥；（2）𝑎=12𝑥2；(3)𝑎=−24𝑥；(4)𝑎=−2𝑥2.答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。对于简谐振动，有𝑎=−𝜔02𝑥,故（3）表示简谐振动。2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的1/2时，下列哪些物理量发生了变化？变化为原来的多少倍？（1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。解：当𝐴′=12𝐴时，（1）劲度系数k不变。（2）频率不变。（3）总机械能𝐸′=12𝑘𝐴‘2=14𝐸（4）最大速度𝑉’=−𝐴′𝜔0𝑠𝑖𝑛(𝜔0𝑡+𝜑)∴𝑉𝑚′=−𝐴′𝜔=12𝑉𝑚(5)最大加速度𝑎′=−𝐴′𝜔02𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡+𝜑)∴𝑎𝑚′=−𝐴′𝜔02=12𝑎𝑚3、劲度系数为1k和2k的两根弹簧，与质量为m的小球按题图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21FFF，设串联弹簧的等效倔强系数为串K等效位移为x，则有111xkFxkF串222xkF又有21xxx2211kFkFkFx串所以串联弹簧的等效倔强系数为2121kkkkk串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121kkkkk的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为2121)(222kkkkmkmT串(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有21FFF，即21xxx，设并联弹簧的倔强系数为并k，则有2211xkxkxk并故21kkk并同上理，其振动周期为212kkmT4.完全相同的弹簧振子，𝑡=0时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？解：对于弹簧振子，𝑡=0时，𝑥=𝐴𝑐𝑜𝑠𝜑,𝑣=−𝐴𝑠𝑖𝑛𝜑（a）𝑥=𝑥𝑚𝑎𝑥,故𝑐𝑜𝑠𝜑=1𝑣=0，故𝑠𝑖𝑛𝜑=0∴𝜑=0（b）𝑥=0，故𝑐𝑜𝑠𝜑=0𝑣0，故sinφ0∴𝜑=𝜋2（c）𝑥=0，故𝑐𝑜𝑠𝜑=0km𝑥=𝑥𝑚𝑎𝑥(a)kmv𝑥=0(b)kmv𝑥=0(c)km𝑥=−𝑥𝑚𝑎𝑥(d)𝑣0，故sinφ0∴𝜑=3𝜋2（d）𝑥=−𝑥𝑚𝑎𝑥,故𝑐𝑜𝑠𝜑=−1𝑣=0，故𝑠𝑖𝑛𝜑=0∴𝜑=𝜋5、如图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有221ddsintxmTmg①IRTRT21②Rtx22dd)(02xxkT③式中kmgx/sin0，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有kxRtxRImR22dd)(令ImRkR222则有0dd222xtx故知该系统是作简谐振动，其振动周期为)/2(22222KRImkRImRT6、质量为kg10103的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI()328cos(1.0x的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等?解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0tAx，则知：3/2,s412,8,m1.00TA又8.0Avm1sm51.21sm2.632Aam2sm(2)N63.0mmmaFJ1016.32122mmvE当pkEE时，有pEE2，即)21(212122kAkx∴m20222Ax7、一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果0t时质点的状态分别是：(1)Ax0；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过2Ax处向负向运动；(4)过2Ax处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为0000sincosAvAx将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1tTAx)232cos(232tTAx)32cos(33tTAx)452cos(454tTAx8.物体沿x轴作简谐振动，在𝑡=0时刻，其坐标为𝑥0=−8.50𝑐𝑚,速度𝑣0=−0.92𝑐𝑚/𝑠,加速度𝑎0=47m/s2,试求：（1）弹簧振子的角频率和周期；（2）初相位和振幅。解：设𝑥=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡+𝜑)，则𝑡=0时𝑥0=𝐴𝑐𝑜𝑠𝜑，𝑣0=−𝐴𝜔0𝑠𝑖𝑛𝜑a0=−Aω02cosφ=−𝜔02𝑥0(1)ω0=√−a0x0=√−47.0−0.085=23.5rad/s𝑇=2𝜋𝜔0=2×3.1423.5=0.27𝑠(2)5.85.230092.0085.0222202020vxAcm00461.0)085.0(5.230092.0tan000xv01.959、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在𝑥1=𝐴/2处，且向左运动时，另一个质点2在𝑥2=−𝐴/2处，且向右运动。求这两个质点的相位差。解：由旋转矢量图可知，当质点1在𝑥1=𝐴/2处，且向左运动时，相位为𝜋/3；而质点2在𝑥2=−𝐴/2处，且向右运动，相位为4𝜋/3（如图）。所以他们的相位差为π。10、一质量为kg10103的物体作谐振动，振幅为cm24，周期为s0.4，当0t时位移为cm24．求：(1)s5.0t时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到cm12x处所需的最短时间；(3)在cm12x处物体的总能量．解：由题已知s0.4,m10242TA∴1srad5.02T又，0t时，0,00Ax故振动方程为m)5.0cos(10242tx(1)将s5.0t代入得0.17mm)5.0cos(102425.0txN102.417.0)2(10103232xmmaF方向指向坐标原点，即沿x轴负向．(2)由题知，0t时，00，tt时3,0,20tvAx故且∴s322/3t(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222AmkAE11、图为两个谐振动的tx曲线，试分别写出其谐振动方程．解：由题图(a)，∵0t时，s2,cm10,,23,0,0000TAvx又即1srad2T故m)23cos(1.0txa由题图(b)∵0t时，35,0,2000vAx1t时，22,0,0111vx又253511∴65故mtxb)3565cos(1.012、一物块在水平面上作简谐振动，振幅为10cm，当物块离开平衡位置6cm时，速度为24cm/s。问：（1）此简谐振动的周期是多少？（2）物块速度为±12cm/s时的位移是多少？解：设𝑥=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡+𝜑)，已知𝐴=10𝑐𝑚，故𝑥=10𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡+𝜑),𝑣=−10𝜔0𝑠𝑖𝑛(𝜔0𝑡+𝜑)∴x2100+v2100ω02=1(1)当𝑥=6𝑐𝑚，𝑣=24𝑐𝑚/𝑠𝜔0=√𝑣2100−𝑥2=√242100−62=3𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑇=2𝜋𝜔0=2×3.143=2.09𝑠（2）当𝑣=±12𝑐𝑚/𝑠时𝑥=±√100−𝑣2𝜔02=±√100−12232=±9.16𝑐𝑚13、一长方形木块浮于静水中，其浸入部分高为a，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分高度为b，然后放手任其运动。试证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动，并求出振动周期和振幅。解：设木块质量为m，底面积为S，水的密度为ρ水，木块受到重力𝑚𝑔⃑和浮力𝑓⃑.平衡时，𝑚𝑔=𝑓=𝜌水𝑔𝑆𝑎,以水面上某点为原点，向上为x轴建立坐标系，则当木块在图示位置时，合力为𝐹=𝑓−𝑚𝑔=𝜌水𝑔𝑆|𝑏|−𝜌水𝑔𝑆|𝑎|=−𝜌水𝑔𝑆𝑥由牛顿第二定律𝐹=𝑚𝑎=𝑚𝑑2𝑥𝑑𝑡2故𝑚𝑑2𝑥𝑑𝑡2=−𝜌水𝑔𝑆𝑥∴𝑑2𝑥𝑑𝑡2+𝜌水𝑔𝑆𝑥𝑚𝑥=0可见，木块作简谐振动，振幅为𝑏−𝑎，𝜔0=√𝜌水𝑔𝑆𝑚⁄，𝑇=2𝜋√𝑚𝜌水𝑔𝑆⁄=2𝜋√𝑎𝑔⁄14、有一单摆，摆长m0.1l，摆球质量kg10103m，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量14smkg100.1tF，取打击时刻为计时起点)0(t，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．解：由动量定理，有0mvtF∴1-34sm01.01010100.1mtFv按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知0t时，100sm01.0,0vx＞0∴2/30xba𝑚𝑔⃑𝑓⃑OSx又1srad13.30.18.9lg∴m102.313.301.0)(302020vvxA故其角振幅rad102.33lA小球的振动方程为rad)2313.3cos(102.33t15、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m20.0，位相与第一振动的位相差为6，已知第一振动的振幅为m173.0，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．解：由题意可做出旋转矢量图如下．由图知01.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos222122122AAAAA∴m1.02A设角为OAA1，则cos22122212AAAAA即01.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos2222122221AAAAA即2，这说明，1A与2A间夹角为2，即二振动的位相差为2.16、已知两简谐振动的振动方程分别为𝑥1=5𝑐𝑜𝑠(10𝑡+34)𝜋𝑐𝑚和𝑥2=6𝑐𝑜𝑠(10𝑡+14𝜋)𝑐𝑚,试求其合成运动的振幅及初相。解：由𝑥1=5𝑐𝑜𝑠(10𝑡+34)𝜋，𝑥2=6𝑐𝑜𝑠(10𝑡+14𝜋)知：𝐴1=5𝑐𝑚，𝜑1=34𝜋，𝐴2=6𝑐𝑚，𝜑2=14𝜋合成震动振幅为𝐴=√𝐴12+𝐴22+2𝐴1𝐴2𝑐𝑜𝑠(𝜑2−𝜑1)=√25+36+2×5×6𝑐𝑜𝑠(−𝜋2)=7.81𝑐𝑚初相为tanφ=A1sinφ1+A2sinφ2A1cosφ1+A2cosφ2=5sin34π+6sin14π5cos34π+6cos14π=11∴𝜑=84.8°=1.48𝑟𝑎𝑑17、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1)cm)373cos(5cm)33cos(521txtx(2)cm)343cos(5cm)33cos(521txtx解：(1)∵,233