固体物理学1~6章习题解答

《固体物理学》习题解答第一章1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=22a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=32a那么，RfRb=23aa=631.2晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么晶面族是（123）的离原点最近的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别是a1、(1/2)a2、(1/3)a3。固体物理学中基矢的长度等于相邻两个格点的距离，所以只要“OA,OB和OC分别与基矢a1,a2,a3重合”，而O又是格点，则A、B、C一定是格点。OA、OB、OC间无格点，（234）情况一样。结晶学以晶包基矢为坐标轴表示晶面指数，但称为米勒指数。1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：1.4在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此正方a=ba^b=90°六方a=ba^b=120°矩形a≠ba^b=90°带心矩形a=ba^b=90°平行四边形a≠ba^b≠90°123oooanhdankdanid………(1)由于a3=–（a1+a2）313()ooanaan把（1）式的关系代入，即得()idhdkd()ihk根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6（2）体心立方：38（3）面心立方：26（4）六方密堆积：26（5）金刚石：316。答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：111248ifecZNNNN边长为a的立方晶胞中堆积比率为334*3rFZa假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：θ=334/3(2)rr=6（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为43r，那么：θ=332(4/3)(4/3)rr=38（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为22r，那么：θ=334(4/3)(22)rr=26（4）对于六方密堆积一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此θ=3242()332rac=26（5）对于金刚石结构Z=838ar那么333443*8()338rFZa=316.1.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位矢量.问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3k。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。（2）晶胞的体积=c(ab)=3k(3i3j)=27*10-30(m3)原胞的体积=c(ab)=1(333)(33)2ijkij=13.5*10-30(m3)1.7六方晶胞的基失为：322aaaij，322abaij，cck求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积Ω=a·（b*c）=232ac那么，倒格子的基矢为12()bcb223ijaa，22()cab223ijaa，32()abb2kc其第一布里渊区如图所示：(略)1.8若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为2221()()()hkldhklabc答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为1ah，2ak，3al。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是123dhdkdlnxyzaaa这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。由|n|=1得到222123()()()1dhdkdlaaa故12222123[()()()]hkldaaa1.9用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下序号12345θ/（°）19.61128.13635.15641.15647.769已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：2222|[1cos()]sin()hklIFfnhklfnhkl考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式2sin(1)hkldn得1011011.54052.29510()2sin2sin19.611odm同法得1020021.633410()2sindm1021131.337710()2sindm1022031.160910()2sindm1031041.040310()2sindm应用立方晶系面间距公式222hkladhkl可得晶格常数222hkladhkl把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10-10m为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值则得103.272510()am1.10平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为1aai21322aaiaj用正交关系式022,ijijijijba求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设111xybbibj222xybbibj由112ba120ba210ba222ba得到下面四个方程式11()2xyaibibj（1）1113()()022xyaiajbibj（2）22()0xyaibibj（3）2213()()222xyaiajbibj（4）由（1）式可得：12xba由（2）式可得：123yba由（3）式可得：20xb由（4）式可得：243yba于是得出倒易点阵基矢1223bijaa243bja第二章2.2证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln2.证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有(1)11112[...]234jijrrrrrr前边的因子2是因为存在着两个相等距离ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为234(1)...34nxxxxxx当X=1时，有1111...2234n2.3有一晶体,平衡时体积为0V，原子间相互作用势为0U.如果相距为r的两原子互作用势为nmrraru证明体积弹性模量为K=.900VmnU[解答]设晶体共含有N个原子,则总能量为U(r)=ijijru'21.0202222222由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为U=.2'jijruN设最近邻原子间的距离为R则有jijarR再令A,1'jmjmaA,1'jnjna得到U=.200nnmmRARAN平衡时R=R0,则由已知条件U(R0)=0U得0002URARANnnmm由平衡条件1112[1...]23422n0)(0RdRRdU得021010nnmmRAnRAmN.由(1),(2)两式可解得.)(2,)(20000nnmmnRnmNUAnRnmNUA利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式]K=0220209RRUVR得K=nnmmRAnnRAmmNV000)1()1(291=)(2)1()(2)1(2910000000nmNmRURnnnmNnRURmmNVnnmm=.900VmnU由于,00U因此,00UU于是K=.900VmnU2.6由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为3RNβNvN。式中，v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值：(1).简单立方点阵；(2).面心立方点阵；(3).体心立方点阵；(4).金刚石结构；(5).氯化钠型结构。解：题给3RNβNvN(1)式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平均占据的体积。若以N’表示晶体包含的晶胞数，V’表示晶体中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全等效于3RnβNnvNVNV2.7．对于2H，从气体的测量得到Lennard—Jones势参数为65010,2.96.JA计算2H结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．解以2H为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：1261262.ijijijUNPPRR61214.45392;12.13188,ijijjiPP16235010,2.96,6.02210/.ergANmol12628162.962.962602210/501012.131