固体物理第一章晶体结构4-5.

固体物理学固体物理1§1.4倒格子倒格子并非物理上的格子，只是一种数学处理方法。倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。固体物理学固体物理2一、倒格子的引入（从X射线衍射入手）OPS0SAB晶面取格点O为坐标原点，P点其位置矢量：332211alalalRl经过格点O和P的衍射X光的光程差为：)(00SSRSRSRBOAOlll点O和P为一组晶面上两个格点S0：入射线方向上的单位矢量S：衍射线方向上的单位矢量衍射加强条件为:nSSRl)(0(n为整数)；固体物理学固体物理nSSRl)(0)(200SSkk引入则衍射极大的条件为)1(2)(0nkkRlk0和k分别是X光的入射波矢和衍射波矢h0Gkk令)2(2nGRhl)3(332211bhbhbhGh设Rl和Gh的量纲是互为倒易需满足以下关系和jibaijjiba2ji，2ji，03固体物理学固体物理4ijjiba2ji，2ji，0基矢量的，，具体形式：1b2b3b),(321aab)(321aacb令2)(32111aaacba3213212aaaaab类似地，可求得和2b3b3212aaac得3211322aaaaab3212132aaaaab固体物理学固体物理——倒格子，、、为倒格子的基矢。——正格子，、、为正格子的基矢。格矢的集合也确定一组布拉菲格点格矢的集合确定一组布拉菲格点51a2a3a1b2b3b321213321132321321222aaaaabaaaaabaaaaab332211alalalRl332211bhbhbhGh倒格基矢定义为：练习：求简单立方晶格的倒格子固体物理学固体物理空间基矢位置矢量正格子空间倒格子空间简称“倒格矢”(Reciprocallatticevector)321aaa,,332211alalalRl332211bhbhbhGh213132321222aabaabaab2.1数学描述二、倒格子与正格子之间的关系6固体物理学固体物理2.2倒格子与正格子基矢间关系)()(jijibaji02i,j=1,2,3之间存在如下关系：jiba和注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有相同的量纲。7固体物理学固体物理2.3位矢之间关系332211alalalRl332211bhbhbhGh正格矢：nRGlh2(n为整数)；倒格矢：二者的关系：推论：1、如果有一矢量与正格矢点乘后等于2π的整数倍，这个矢量一定是倒格矢。2、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。2、8固体物理学固体物理2.4二者原胞体积的关系倒格子原胞的体积Ω*与正格子原胞体积Ω的关系为:)(2)2()(32133321aaabbb*333332132212113121321132113322][}]{[}]{[][][)()()(])[]([][)()()(aaaaaaaaaaaaaaaaCBABCACBAaaaaaa所以有依据：证明提示：将表达式代入后，利用矢量运算即可证明。321bbb,,9固体物理学固体物理2.5正格子中(h1h2h3)晶面族与倒格矢Gh的关系即沿晶面族(h1h2h3)的法线方向。332211bhbhbhG证明提示：设晶面ABC是晶面族（h1h2h3）中最靠近原点的晶面，截距分别为332211hahaha,,思路：证明同时垂直于和即可CACBG(1)倒格矢与正格子中密勒指数为(h1h2h3)的晶面族正交。332211bhbhbhG10固体物理学固体物理简单证明如下：33223311332211hahaCBhahaCAbhbhbhG0)()(0)()(3322332233221133113311332211ababhahabhbhbhCAGababhahabhbhbhCAGABCGCBGCAG面11固体物理学固体物理12(2)晶面族(h1h2h3)的面间距d为hGd2证明：由前面的证明可知，原点到面ABC的距离即为所求面间距(设为d)。hhhhhGGbhbhbhhaGGOAdGOAGOAOAd2133221111)(coscos又d固体物理学固体物理133322113212bhbhbhGGdhhhhh，其中）的面间距晶面族（对于简单立方晶格：kab,jab,iab2223212322212hhhaGh232221hhhad对sc晶格，低密勒指数晶面的面间距较大。这一结论对bcc和fcc晶格也近似成立。单位体积中的原子数是一定的，因此，面间距越大的晶面，原子的面密度也越大。这类密排面的单位面积的表面能较小，在晶体生长过程中容易显露在外表；另外，由于面间距较大，也易解理，故常见的是低指数表面。固体物理学固体物理14总结：引入倒格子（倒易点阵）的意义：1.利用倒易点阵可以方便而形象地表示晶体的衍射几何学。倒格子中的一格点与正格子中的一组晶面相对应。如：单晶的电子衍射图相当于一个倒易点阵在二维平面的投影，每一个衍射斑点与一个倒易阵点对应。因此，倒易点阵是晶体衍射工作中不可缺少的分析工具。2.倒易矢量也可以理解为波矢k，通常用波矢来描述电子在晶体中的运动状态或晶体的振动状态。由倒易点阵基矢所张的空间称为倒易空间，可理解为状态空间（或波矢空间）。固体物理学固体物理例1：1.3证明体心立方的倒格子是面心立方。解：体心立方的原胞基矢：kjiaakjiaakjiaa222321321aΩ22222232aaaaaakjiaa222222222222aaaakaaaajaaaaikaja2222213132321π2π2π2aaΩbaaΩbaaΩb15固体物理学固体物理321π2aaΩbkajaaa222232321aΩkjaπ2jiabπ23kiabπ22倒格矢：jiabπ23kjabπ21kiabπ22同理得：体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方。16固体物理学固体物理17§1.5晶体对称性固体物理学固体物理18晶体的对称性是指晶体经过某种操作后能够自身重合的特性。晶体的对称性是晶体内部原子周期性排列的结果。晶体的对称性包括宏观对称性和微观对称性，后者也称为晶格的对称性。宏观对称性是微观对称性的表现。本节重点介绍晶体的宏观对称性，并依据宏观对称性对晶格进行分类。固体物理学固体物理19一、晶体的宏观对称性：晶体的宏观对称性不仅表现在几何外形上，还反映在晶体的宏观物理性质中。例如：介电常数一般为二阶张量电位移(,,,)xyzED固体物理学固体物理20立方对称的晶体0ED0六角对称的晶体000000////////EDED——由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象——立方晶体的光学性质则是各向同性的——已知晶体的对称性，可以简化物理常数的测量固体物理学固体物理21晶体宏观对称性的描述列举晶体的全部对称操作：对称操作是指能使晶体自身重合的动作。与晶体宏观对称性相对应的是点对称操作（操作过程中保持空间中至少有一个不动点的对称操作），包括旋转、中心反演，镜面反映及它们的联合操作。对称操作的数目越多，晶体的对称性越高。固体物理学固体物理22举例：立方晶体的对称操作绕三个立方轴转共9个对称操作232,,共6个对称操作绕6条面对角线转共8个对称操作绕4条体对角线转3432,另外，“不动”也是1个对称操作。以上24个对称以操作加中心反演仍是对称操作，立方晶体共有48个对称操作。固体物理学固体物理23对称操作与正交变换),,(321xxxX经过某一对称操作，把晶体中任一点变为可以用线性变换来表示),,(321xxxX),,(321xxxX),,(321xxxXOx1x3x2321xxxX321xxxXAXX333231232221131211aaaaaaaaA操作前后，两点间的距离保持不变，232221232221xxxxxx可以证明：,A为正交矩阵，其矩阵行列式1AA1A固体物理学固体物理当OX绕Ox1转动角度时，图中),,(321xxxX),,(321xxxX若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R，则11xxcos2RxsinsincoscosRRsincos32xxsin3RxsincoscossinRRcossin32xx),,(321xxxX),,(321xxxXOx1x3x22x2x3x3x(1)旋转24固体物理学固体物理cossin0sincos0001A1A旋转操作对应的矩阵：321321cossin0sincos0001xxxxxx若晶体绕某轴旋转θ＝2π/n以及它的倍数后，晶体能与自身重合,则称该轴为n重旋转轴，记作n或Cn25固体物理学固体物理(2)中心反演（用符号i表示）取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点),,(321xxx),,(321xxx变为321321xxxxxx100010001A1A26固体物理学固体物理(3)镜面（用符号m表示）如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点),,(321xxx),,(321xxx变为100010001A1A321321xxxxxx27不动100010001A1A固体物理学固体物理B点转到B’点——B’点必有一个格点——绕通过格点A垂直于平面的转轴逆时针转过角度A点转到A’点——A’点必有一个格点设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以描述为。以格点A为原点，画至格点B。1a问题：晶体中允许有几重旋转对称轴呢?（n的取值）——以通过B点的轴顺时针转过——m为整数28固体物理学固体物理n264321,,,,n29——m为整数晶体只有1，2，3，4，6五种旋转对称轴固体物理学固体物理——长方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面内周期性重复排列——正五边形及其它正n边形则不能作周期性重复排列晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。因为不符合空间格子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布满整个平面——周期性的限制30固体物理学固体物理31对称素：对称素更简洁明了地概括一个物体的对称性一个物体的旋转轴、旋转－反演轴晶体的旋转－反演轴：若晶体绕某轴旋转θ＝2π/n角度后再作中心反演能自身重合，则称该操