固体物理第四章.

在波传播的方向上单位长度内的波周数目称为波数(常写为k或q)，其倒数称为波长。k或q=1/λ。理论物理中定义为:k或q=2π/λ第四章能带理论学习内容：第一节金属的经典电子气理论第二节索末菲自由电子论第三节布洛赫定理第四节近自由电子近似引子固体中存在大量的电子，其运动是互相关联的；每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连；认识：解这个多电子系统是不可能的！能带理论（单电子近似理论）把每个电子看成是独立的在一个等效势场中的运动！多粒子体系多电子体系单电子近似能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础！1900年，Drude和Lorrentz—金属的经典电子气理论研究的历史发展：三十年代初期，Bloch和Brilliouin—能带理论——麦克斯韦—玻尔兹曼统计1928年，Sommerfeld—索末菲自由电子理论—费米—狄拉克统计量子自由电子理论量子自由电子理论可作为一种零级近似纳入能带理论！金属的经典电子气理论一、Drude–Lorrentz电子起因：金属的一般性质高电导率高热导率基础：1897年，Thomson发现金属中电子的存在利用分子论处理理理想气体问题获得巨大成功固体材料中，三分之二以上的固态纯元素物质属于金属材料。由于金属具有极好的导电，导热性能及优良的机械性能，是一种非常重要的实用材料，所以通过对金属材料功能的研究，可了解金属材料的性质，同时推动现代固体理论的发展。另一方面，对金属材料的了解，也是认识非金属材料的基础！金属中的价电子同气体分子类似，形成自由电子气体，称为金属电子气一、特鲁德模型的基本假设认为：当金属原子凝聚在一起形成金属时原来孤立原子封闭壳层内的电子（芯电子）紧紧被原子核束缚原子核不可移动的离子实原来孤立原子封闭壳层外的电子（价电子）在金属中可自由的移动自由电子：当这些孤立原子凝聚到一起时，价电子离开原子而在金属中自由的运动！（传导电子）-e(Za-Z)-eZeZa孤立原子草图在金属中，原子核和核芯电子仍与孤立原子时相同价电子却离开该原子形成电子气原子核芯电子价电子原子核芯电子自由电子离子实-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)eZaeZaeZaeZaeZa特鲁德模型：①价电子→自由电子（组成电子气），离子实保持原子在自由状态时的构型；③电子气遵从麦克斯韦—玻尔兹曼统计(M-B)②自由电子之间的相互作用忽略不记；二、模型的成功可定性解释金属的电导、霍尔（Hall）效应和热传导等问题！一、能带理论的基本近似晶体可以看成是由外壳层电子（价电子）与内壳层电子（芯电子）和原子核组成的离子实构成！的坐标分别表示电子和离子实和321321,,,,RRRrrr是时间的函数！晶体的定态薛定谔方程：321321321321,,;,,,,;,,ˆRRRrrrERRRrrrH晶体的哈密顿算符能带理论的基本假设Hˆ由一切可能形式的能量算符之和构成！VUUUTTHezzezeˆˆˆˆˆˆˆ包括：电子动能离子动能电子-电子相互作用能离子-离子相互作用能电子-离子相互作用能离子、电子在外场中的势能VUUUTTezzezeˆˆˆˆˆˆVUUUTTezzezeˆˆˆˆˆˆVUUUTTezzezeˆˆˆˆˆˆVUUUTTezzezeˆˆˆˆˆˆVUUUTTezzezeˆˆˆˆˆˆVUUUTTezzezeˆˆˆˆˆˆiemT2ˆ22多粒子体系↓多电子体系↓单电子体系nRrVrVrErrVm2221，第一步简化：绝热近似，考虑到原子核（离子实）的质量比电子大，离子运动速度慢，在讨论电子问题时，可以认为离子处于固定在瞬时的位置上。2，第二步简化：利用哈特里-福克自治场方法，多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动。3，第三步简化：认为所有离子势场和其他电子的平均场是周期性势场。一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理nRrVrVrErrVm222周期势场中单电子态薛定谔方程：单电子的本征态波函数单电子本征态能量布洛赫电子：这种无相互作用并在周期性势场中运动的电子！第三节布洛赫（Bloch）定理若某一物理量A的算符A‘作用于某一状态函数$,等于某一常数a乘以$,即A’$=a$(1)。对$所描述的这个微观体系的状态，物理量A具有确定的数值a，a称为物理量算符A'的本征值，$称为A'的本征态或本征波函数。（1）式称为A'的本征方程。本征波函数布洛赫定理内容二、Bloch定理证明：当势场具有晶格周期性时,为任意晶格矢量nnRRrVrV,波动方程的解ψ具有如下性质：rErrVm222reRrnRkin.物理意义：在以晶格原胞为周期的势场中运动的电子，当平移晶格矢量时→单电子态波函数只增加了位相因子nRKie.nR布洛赫函数：被周期函数所调幅的平面波（布洛赫波）ruRrun布洛赫函数是平面波与周期函数的乘积！根据布洛赫定理,波函数可表示为:ruerrki.引入平移对称操作算符T1,T2,T3Bloch定理证明：它们的定义是：对于任意函数，有：arfrfT3,2,1其中为晶格三个矢量321,,aaa①任何两个平移算符是相互对易的（与次序无关）②平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿量（具有晶格周期性）可以对易两个小结论：reRrnRkin.TTTTHTHTrfHTrfTrVmharfarVmhrfrVmhTrHfTrarr222222222TTTT证明：rfTTaarfarfTrfTTrfTTaarfarfTrfTTrfTTaarfarfTrfTTrfTTaarfarfTrfTT①任何两个平移算符是相互对易的（与次序无关）arfrfT▽：拉普拉斯算子（微商算符）：只表示相应的中变量x,y,z改变一个常数值zyx,,arrerereeerrTTTanananrRrnRkianananikakiakiakinnnnnnn.....321321332211332211321321321rerereeerrTTTanananrRrnRkianananikakiakiakinnnnnnn.....321321332211332211321321321reRrnRkin.rTTTnnn321321由量子力学的基本定理：两个算符具有完全的共同本征函数系的充分条件：这两个算符可以对易（与有共同的本征函数系）HT∴对于此本征函数系的任意本征态，有：332211TTTEH321,,为三个基本算符的本征值nRkinnneTTT.321321为确定本征值引入周期性边界条件—波恩-卡曼边界条件（Born-VonKarman）321,,11aNrr22aNrr33aNrr其中分别表示沿晶格基矢方向的原胞数目321,,NNN321,,aaarTTTRrnnnn321321rerereeerrTTTanananrRrnRkianananikakiakiakinnnnnnn.....321321332211332211321321321reRrnRkin.nRkinnneTTT.321321nRkinnne.321321∴Born-VonKarman边界条件对作了严格的限制：rrrTaNrNN111111rrrTaNrNN111111rrrTaNrNN111111rrrTaNrNN111111111N12cos1l11N=12cosll1是任意整数122coscos1lexeliix又1121ilNe122cossincos1lexixeliix又arfrfTTnRkinnne.3213211121Nlie2222Nlie3323Nlie其中l1,l2,l3为整数如果引入矢量:333222111bNlbNlbNlk根据倒格子基矢的定义：（i,j=1，2，3）2.,0.,jijibajibaji1121ilNenRkinnne.321321利用？iak.2.111Nlak2.222Nlak2.333Nlak代入:i1.1akie2.2akie3.3akie由此得证：333222111bNlbNlbNlk332211232221,,NliNliNlieeererereeerrTTTanananrRrnRkianananikakiakiakinnnnnnn.....321321332211332211321321321rerereeerrTTTanananrRrnRkianananikakiakiakinnnnnnn.....321321332211332211321321321rerereeerrTTTanananrRrnRkianananikakiakiakinnnnnnn.....321321332211332211321321321rerereeerrTTTanananrRrnRkianananikakiakiakinnnnnnn.....321321332211332211321321321rerereeerrTTTanananrRrnRkiananankiakiakiakinnnnnnn.....321321332211332211321321321rerereeerrTTTanananrRrnRkianananikakiakiakinnnnnnn