大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)

第1页共10页大学高等数学（微积分）下期末考试卷学院：专业：行政班：姓名：学号：座位号：----------------------------密封--------------------------题目第一题第二题第三题第四题第五题总分阅卷人得分一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题分4小题,每小题4分,共16分)1、设lim0nna，则级数1nna（）；A.一定收敛，其和为零B.一定收敛，但和不一定为零C.一定发散D.可能收敛，也可能发散2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)AB，与AB方向相同的单位向量是（）；A.623(,,)777B.623(,,)777C.623(,,)777D.623(,,)7773、设32()xxyftdt，则dydx（）；A.()fxB.32()()fxfxC.32()()fxfxD.2323()2()xfxxfx4、若函数()fx在(,)ab内连续，则其原函数()Fx（）A.在(,)ab内可导B.在(,)ab内存在C.必为初等函数D.不一定存在第2页共10页二、填空题（将正确答案填在横线上,本大题分4小题,每小题4分,共16分)1、级数11nnn必定____________（填收敛或者发散）。2、设平面20xByz通过点(0,1,0)P，则B___________。3、定积分121sinxxdx___________。4、若当xa时，()fx和()gx是等价无穷小，则2()lim()xafxgx__________。三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分)1、(本小题7分)求不定积分sinxxdx2、(本小题7分)若()(0)fxxxx，求2'()fxdx。第3页共10页3、(本小题7分)已知函数1arctan1xyx，求dydx。4、(本小题7分)将函数1()32fxx展开为(1)x的幂级数。第4页共10页四、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分)1、(本小题7分)计算831dxxx。2、(本小题7分)求幂级数11(1)(3)nnnxn的收敛区间。第5页共10页3、(本小题7分)设0[()''()]sin5,()2fxfxxdxf，求(0)f。4、(本小题7分)第6页共10页五、解答题(本大题12分)设()fx具有连续二阶导数，且(0)0f，(),0(),0fxxgxxax（1）a为何值时，()gx连续。（2）对（1）中所确定的a值，求'()gx。（3）讨论'()gx在0x处的连续性。第7页共10页大学高等数学（微积分）下期末考试卷参考答案一、选择题：1、D；2、B；3、D；4、B.二、填空题：1、发散；2、-2；3、0；4、0.三、解答题：1、求不定积分sinxxdx；解：sinxxdxcoscoscossinxxxdxxxxC2、若()(0)fxxxx，求2'()fxdx；解：因为1'()12fxx，所以21'()12fxx则21'()(1)21ln2fxdxdxxxxC第8页共10页3、已知函数1arctan1xyx，求dydx；解：2211()'111()111dyxxdxxxx4、将函数1()32fxx展开为(1)x的幂级数.解：101()3211351(1)53(1)(1)531(1)15nnnnnfxxxxx即2833x。四、解答题1、计算831dxxx；解：令3tx，则3xt，23dxtdt822311221313ln(1)23(ln5ln2)2dxtdttxxt第9页共10页2、求幂级数11(1)(3)nnnxn的收敛区间；解：根据公式11(1)(3)1lim3(1)(3)nnnnnxnxxn当1133x收敛；当13x时，幂级数发散；当13x时，幂级数收敛；所以，幂级数收敛区间是1133x3、设0[()''()]sin5,()2fxfxxdxf，求(0)f；解：利用分部积分公式000000()sin()cos()coscos'()()(0)'()sin''()sinfxxdxfxdxfxxxfxdxfffxxfxxdx即0[()''()]sin()(0)fxfxxdxff由题意，(0)3f。4、求由抛物线21,0,2yxxx及0y所围成的平面图形的面积.解：122201313201(1)(1)11()()332Sxdxxdxxxxx第10页共10页五、解答题设()fx具有连续二阶导数，且(0)0f，(),0(),0fxxgxxax:（1）a为何值时，()gx连续。（2）对（1）中所确定的a值，求'()gx。（3）讨论'()gx在0x处的连续性。解：（1）因为00'()lim()lim'(0)1xxfxgxf，所以'(0)af时，()gx连续。（2）当0x时，2'()()'()xfxfxgxx000()'(0)'()'(0)'(0)limlim2''()''(0)lim22xxxfxffxfxgxxfxf（3）因为2000'()()lim'()lim''()''(0)lim'(0)22xxxxfxfxgxxfxfg所以，在0x处'()gx是连续的。