大物上海交大课后答案第一章

习题一1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cossin)r=Rωtiωtj其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：(1)由(cossin)r=Rωtiωtj，知：cosxRt，sinyRt消去t可得轨道方程：222xyR∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；（2）由drvdt，有速度：sinRcosvRtitj而vv，有速率：1222[(sin)(cos)]vRtRtR。1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为24(32)rtitj，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从0t到1t秒的位移；（3）0t和1t秒两时刻的速度。解：（1）由24(32)rtitj，可知24xt，32yt消去t得轨道方程为：x2(3)y，∴质点的轨道为抛物线。（2）由drvdt，有速度：82vtij从0t到1t秒的位移为：1100(82)42rvdttijdtij（3）0t和1t秒两时刻的速度为：(0)2vj，(1)82vij。1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为22rtitj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由drvdt，有：22vtij，dvadt，有：2ai；（2）而vv，有速率：12222[(2)2]21vtt∴tdvadt221tt，利用222tnaaa有：22221ntaaat。1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为1y，升降机上升的高度为2y，运动方程分别为21012yvtgt（1）22012yvtat（2）12yyd（3）（注意到1y为负值，有11yy）联立求解，有：2dtga。解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为'gga，利用21'2dgt，有：22'ddtgga。1-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度0v水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的drdt，dvdt，dvdt。解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：0xvt，212yhgt，∴201()2rvtihgtj；（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：2202gxyhv（为抛物线方程）；（3）∵201()2rvtihgtj，∴0drvigtjdt，即：0vvigtj，dvgjdt在落地瞬时，有：2htg，∴02drvighjdt又∵v22220()xyvvvgt，∴2122220022[()]gghgtdvdtvghvgt。1-6．路灯距地面的高度为1h，一身高为2h的人在路灯下以匀速1v沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v.证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为1x，足的坐标为2x，由相似三角形关系可得：12211xxhxh，∴11212hxxhh两边对时间求导有：11212dxhdxdthhdt，考虑到：21dxvdt，知人影中头的速度：21112dxhvvdthh影（常数）。1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为2242ttx(m)，在t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：tdtdxv44若0v解得st1，mxxx22)242(011mxxx8)242()32342(2133xy0vhOO1x2x1h2hmxxx1021。1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度cm20h，斜面对水平的倾角30，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。解：小球落地时速度为ghv20，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，00060cosvvx→200060cos2160costgtvx（1）00060sinvvy→200060sin2160sintgtvy（2）第二次落地时：0y，代入（2）式得：gvt02，所以：2002002122cos60cos604802vghxvtgthcmgg。1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为2s/cm4.3，设赤道上重力加速度为2m/s80.9。解：由向心力公式：2FmR向，赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：Fmg向，而现在赤道上物体的向心力为：'Fma向∴098016.98173.4mggmaa1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为0v，并且0v与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：（1）抛物线顶点处子弹的速度0cosxvv，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。因此有：22011(cos)vvg，2201cosvg；（2）在落地点时子弹的0v，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：cosnag，有：202cosvg则：202cosvg。1-11．一飞行火箭的运动学方程为1()ln(1)xututbtb，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：一维运动，直接利用公式：dxvdt，dvadt有：（1）)1ln(btudtdxv，（2）btubdtdva1gyxg0v0vxvna1-12．飞机以s/m1000v的速度沿水平直线飞行，在离地面高m98h时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为x有：tvx0┄①，221gth┄②联立方程解得：mx447，∴05.77arctanhx。1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为s/m0.490v，而气球以速度s/m6.19v匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？解：物体在任意时刻的速度表达式为：gtvvy0故气球中的观察者测得物体的速度vvvy代入时间t可以得到第二秒末物体速度：29.8mvs，（向上）第三秒末物体速度：30v第四秒末物体速度：49.8mvs（向下）。思考题11-1．质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（A）vvvv,；（B）vvvv,；（C）vvvv,；（D）vvvv,答：（C）1-2．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A）与速度大小成正比；（B）与速度大小平方成正比；（C）与速度大小成反比；（D）与速度大小平方成反比。答：B1-3．如图所示为A，B两个质点在同一直线上运动的vt图像，由图可知（A）两个质点一定从同一位置出发（B）两个质点都始终作匀加速运动（C）在2st末两个质点相遇（D）在20st时间内质点B可能领先质点A答：D1-4．质点的tx~关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个0vxyhO速度小？答：匀速直线运动；abcvvv。1-5．如图所示，两船A和B相距R，分别以速度Av和Bv匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图中和为已知。答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度AvvvB。v是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.由A作BC垂线AC,其长度minr就是两船相靠最近的距离sinminRr作FD//AB,构成直角三角形DEF，故有：vvvABsinsinsin，在三角形BEF中,由余弦定理可得：)cos(222BABAvvvvvRvvvvvvrBABAAB)cos(2sinsin22min。方法二：两船在任一时刻t的位置矢量分别为：jirA)tsin)cos(BAvtv(jirB)tsin)cos(BBvtvR(jirrrA])sinsin[(])coscos([-BtvvtvvRABAB任一时刻两船的距离为：22])sinsin[(])coscos([tvvtvvRrABAB令：0)(dttdrRvvvvvvtABABAB22)sinsin()coscos(coscosRvvvvvvrBABAAB)cos(2sinsin22min。1-6．若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？（A）0drdt，0drdt；（B）0dvdt，0dvdt；（C）0dadt，0dadt答：(1)质点作圆周运动；(2)质点作匀速率曲线运动；(3)质点作抛体运动。1-7．如图所示，质点在t=0时刻由原点出发作斜抛运动，其速度xyvvivj，回到x轴的时刻为t，则（A）00ddttxvtvt（B）00ddttyvtvt（C）00ddttxvtvt（D）00ddttyvtvt答：A（注意：题目中各处的v应为矢量！须加上箭头。）1-8．一质点作斜抛运动，用1t代表落地时，（1）说明下面三个积分的意义：111000d,d,dtttxyvtvtvt；（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：BABABArd,d,drr。答：tvtxd10表示物体落地时x方向的距离，tvtyd10表示物体落地时y方向的距离，10dtvt表示物体在1t时间内走过的几何路程，BArd抛出点到落地点的位移，dBAr抛出点到落地点位移的大小，BAdr抛出点到落地点位移的大小。