大连理工大学2015考研专业课数学分析

课程教案（7）第3章一元微分学3.1本章知识点串讲本章的知识点比较多,也是上册书中考研的重难点比较多的一个章节,主要的知识点有:1.导函数的定义与可微性,这个部分重点会用定义去判断一个函数是否在某个点是可导的2.高阶导数与Leibniz公式,这一节还是比较重要的,主要是掌握一些常用的求高阶导数的方法3.微分中值定理,这部分是考验的热点和难点,基本上说是必考的,所以应该重点掌握,尤其是要理解和掌握其中通过构造各种函数来证明问题的方法.4.导函数的两大特性,无第一类间断点和具有介值性,理解两大特性的证明并且记住结论5.Taylor公式,我们都知道Taylor公式是一元函数的珠穆朗玛峰,它的重要性是不言而喻的,它的应用非常广,可以用来证明中值公式,证明不等式,求无穷远处的极限等等,而什么时候想到用Taylor公式,这是我们同学经常困惑的一件事,其实一般来说如果题目告诉的条件是一个函数是高阶可导的,比如是3阶可导的,这样一般都是在提醒我们可以用Taylor公式展开到第三项.6.不等式与凸函数,这部分内容的重点在不等式的证明,对凸函数部分的要求不高,同学只要把课本上面的相关部分搞清楚就可以了,而不等式的证明是需要重点掌握的,这是各大高校考研的一个热点问题,主要的的方法有利用单调性证明不等式,利用微分中值定理证明不等式,利用Taylor公式,用极值等方法来证明,这些方法都是常用的,都需要重点掌握,熟练的掌握.3.2本章重难点总结3.2.1重难点知识点总结导函数的两大特性,无第一类间断点和具有介值性,高阶导数1.用基本公式.高阶导数的基本公式主要有以下几个nnnnxnxnnnnnxnxaaaanxxnxxabaxanbax)!1()1()ln5.()0()(ln)(4.)2cos()cos3.()2sin()(sin2.)0()()1()1(])[(.11)()()()()(当函数本身不是明显的基本公式形式给出时,可考虑对函数进行适当变形,然后再利用公式直接计算.2.利用数学归纳法:先估算前几阶的导数,从中寻找出一般的规律,再用数学归纳法加以证明3.利用Leibniz公式nkkknknnxvxuCxvxuleibniznIxvxunIxvxu0)()()()()(])()([)()(,)(),(求导公式且有阶可导上也在乘积函数阶可导上均为在区间当函数利用Leibniz公式时,应将所要求导的函数写成两项乘积的形式,再利用上述公式直接得出结果,或者得出导数的递推关系式.4.用递推公式求导:当高阶导数无法直接求出时,可考虑先求出倒数的递推公式,方法是先求前几阶的导数关系,然后设法将等式作适当处理,使两端同时求导时,能得到一般的递推关系微分中值定理2.Rolla定理a.函数的零点性问题(1)借助介值性定理求解(连续函数有介值性,导函数也有介值性)(2)借助Rolla定理求解.'()[,](,)()(),(,)()0fxababfafbabf即：若在上连续，在内可导且则使得b.证明中值问题:构造不同的辅助函数,应用Rolla定理,可以导出不同的中值公式二Lagrange定理1212'2121()[,](,)()(),,[,],,()()()fxababfafbxxabxxfxfxfxx即：若在上连续，在内可导且在之间，使得即是说：曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行三Cauchy定理12'2112'21(),(),,,()()(),(,)()()()FxGxIxxIFxFxFxxGxGxG若在某个区间内可导则使得在之间1.中值定理证明中的辅助函数的构造.(这个方法是非常重要的,后面会去例子说明这种方法)证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理时,通常要引进辅助函数,并对这一辅助函数应用Rolla中值定理,以此推出两个中值定理.这些巧妙的辅助函数十如何构造出来的?一些教材上从几何意义上解释了辅助函数的构造方法,优点直观,易于理解,但如果遇到问题本身的几何意义不明显,用这种方法就很难奏效,下面我们从分析的观点讨论辅助函数的构造方法.辅助函数是没有意义的，否则自然，首先应该说明同样地，应作辅助函数即要证或使中值定理的证明，要证再看中值定理的条件上满足在并验证助函数这显然提示我们应做辅即要证使要证中值定理时在证明0)()(),()()()()()()(,0)]()()()()()([0)()()()()()()()()()()()(),(Rolle],[)(,)()()()(,0])()()([,)()()(),,(,'''''''agbgxgagbgafbfxfxFxgagbgafbfxfgagbgafbffagbgafbfgfbaCauchybaxFxabafbfxfxFxabafbfxfabafbffbaLagrangexx事实上,通过上面的分析我们得到的一般的构造函数的方法就是把要证的结果做个变换后移到一边去,然后只要求出左边部分的原函数就可以了.Taylor公式这部分的内容主要讨论带Lagrange余项与带有Peano余项的Taylor公式在解题中的若干应用,为此我们会在后面取部分的例子帮助大家复习.+100'()00000(1)10001.()()[,],()(,),,[,],,,1()()()()....()()()!1()()()(1)!()(()),PeannnnnnnnnnTaylorfxabfxabxxabxxfxfxfxxxfxxxRxnRxfxxnRxoxxxx公式若在上连续在内存在则在之间使得下式成立其中为Lagrange余项若当时为no余项0()002.2,,,,,,,,()0ifxnxfx当问题涉及阶以上的导数时通常可考虑用Taylor公式求解这里关键在于选去函数点展开的阶次以及余项形式根据需要一般应选在有特点的地方例如使某的地方等不等式a.利用单调性证明不等式''121212()0(()0)()()(()())fxfxxxfxfxfxfx若或则时有或b.利用微分中值定理证明不等式'''''''1.()[,],(,),()()()()((,))()0,(,)()0,()0((,])()()2.,(),,,,()()()()()fxababfxfafxaabfaabfxfxxabfbfafabfbafbfafaffbba若在上连续在上可导则故当内时有在上述条件下有其中因此若时有c.利用Taylor公式证明不等式'(1)()()()[,],()()...()0,()0((,))()()()0((,])!nnnnfxabnfafafafxxabffxxaxabn若在上有连续阶导数且当时则当时洛必达法则与极限计算技巧L'Hospital法则适用于未定型的极限计算.所谓未定型极限,是指,以下几种极限类型:;;1;0;0;;0000其中前两种是L'Hospital法则计算极限的主要类型,后几种均可通过适当的变形转化为前两种的类型.在应用L'Hospital法则计算极限时,应注意几个问题第一,每计算一步须审查函数是否满足L'Hospital法则所要求的条件,特别是所求极限是否具有未定型的形式,若不再是未定型,自然不能再用L'Hospital法则第二,注意L'Hospital法则的应用条件.HospitalL',sinlim,)()(lim,HospitalL',,)()(lim2.HospitalL',0,)(,),()(),(HospitalL',)()(lim1.000'''00法则却失效了但是结果用初等方法很容易得出例如也不存在但并不表明法则就失效了候当上述极限不存在的时存在条件中要求法则几次到能否用以及到底能用但这一条件却直接影响这一点往往容易被忽视且可导内的某个领域在点法则的条件中要求为例以未定型极限xxxxgxfxgxfxgxUxxgxfxgxfxxxxxxx3.2.2本章重难点例题讲解【例题1】0)()(0,,0))()(()(),()(,0)()(),()(:0)()(),,(:,0)(],[,''''ffeffegbaRollexgbgagxfexgffbabfafbafx故而对使得从而存在一点中值定理满足易知则令证明使得至少存在一点证明上有且在可导设函数':()(),,()(),()()xxxgxefxeffgxefx注为什么会想到构造函数这是因为的导数的特性决定的凡是以后出现了诸如的问题可以构造函数【例题2】上有界就行了在存在，已不难证明同时还有因在此例中可见结论成立有时对上有界就行了，因为此在这只要说明上也一致连续在再证上是一致连续的在不难说明存在而注意到分析上一致连续在证明函数),1[)()(lim),,1[)(),,1[,22ln)(|,||M|||)(||)()(|),1[,),1[)(,),1[)((0,1])(,)(lim),,0()(:)(0,ln)('''''''''''''''''0xfxfCxfxxxxfxxxxfxfxfxxxfxfxfxfCxfxxxfxx【例题3】上至多有一个零点在从而上至多有一个零点在从而严格单调即所以因为则令证明上至多有一个零点在证明上可导且在设函数R)(,R)F(,)(0)(,0)()()),()(()()(:R)(:,0)()()('''''xfxxFxFxfxfxfxfexFxfexFxfxfxfRxfxx''2:,()2()0()()(0),,()()(0).xxfxfxfxfxefxefx注同理如果把这道题中的条件或则直接改成这都没有本质的区别结论还是成立的只不过构造的函数分别改成或而已【例题4】的零点有的任意两个零点之间必所以，与题设矛盾从而即，使得中值定理，从而由可导，且在连续在则易知同理可得从而有又因为函数内恒不为零，可作辅助在倘若不妨的两个相邻的零点任取反证法证明：的零点有的任意两个零点之间必证明：有上可导，且在设函数)()(0)()()()(0)()()()()(,0)(),(Rolle)F()F(),()F(],[)(,0)(,0)(0)()()()(],[0)(),(,)()()(),()()](,[,)()()()(0)()()()(],[],[)(),(''2'''2121212121''121212121''xgxfgfgfggfgfFxxxxxxxxxxFxgxgxgxfxgxfbaxxfxxxxgxfxFxxxgxxbaxxxfxgxfxgxfxgxfbaxbaxgxf【例题5】(广义的Rolle中值定理)'(,),()(,),lim()lim()():(,),()0xaxbabfxabfxfxAabf设为有限或无穷区间在内可微且有限或试证使得'00000102012:()()()0,.(),(,),(),()(())lim()lim()()(,),(()),(,),(,)()(),,xaxbfxAfxfxAxabfxAfxAfxAfxfxAfxabAfxxaxxxbfxfxRolle证明若有限数则问题自明若不恒为则使得下设对类似可证因为函数在内连续所以对于任意取定的数使得从而由定理'12(,)(,),()0,xxabf使得结论得证【例题6】(中值定理的证明方法)''''''1.(),()[,],(,),(,),()0,:(