天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学试题

天津一中2012—2013学年高三数学一月考试卷(理科)一、选择题:(共40分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）1.有关下列命题的说法正确的是A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:若“x2=1则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“x∈R,使得x2+x+10”的否定是:“x∈R,均有x2+x+10”D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题2.定义在R上的偶函数f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是A.f(π)f(-3)f(-2)B.f(π)f(-2)f(-3)C.f(π)f(-3)f(-2)D.f(π)f(-2)f(-3)3.函数f(x)=sin2x-4sin3xcosx(x∈R)的最小正周期为A.π/8B.π/4C.π/2D.π4.设函数f(x)=|sin(x+π/3)|(x∈R),则f(x)A.在区间[-π,-π/2]上是减函数B.在区间[2π/3,7π/6]上是增函数C.在区间[π/8,π/4]上是增函数D.在区间[π/3,5π/6]上是减函数5.在∆ABC中,A,B,C为内角,且sinAcosA=sinBcosB,则∆ABC是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形6.x,y,z均为正实数,且2x=-log2x,2-y=-log2y,2-z=log2z,则A.xyzB.zxyC.zyxD.yxz7.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则向量a+b+c=A.aB.bC.cD.08.定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x≠0时,f/(x)+x-1∙f(x)0,则函数g(x)=f(x)+x-1的零点的个数为A.1B.2C.0D.0或2二、填空题:(共30分,每小题5分)9.函数f(x)=ax+2xa的值域为_________.10.已知sinxcosx=3/8,且x∈(π/4,π/2),则cocx-sinx=_________.11.曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为_________.12.函数f(x)=sin(2x-π/3)(x∈R)的图象为C,以下结论中:①图象C关于直线x=11π/12对称;②图象C关于点(2π/3,0)对称;③函数f(x)在区间(-π/12,5π/12)内是增函数;④由y=3sin2x的图象向右平移π/3个单位长度可以得到图象C.则正确的是.(写出所有正确结论的编号)13.点P(x,y)在曲线2cossinxy(θ为参数,θ∈R)上,则y/x的取值范围是.14.如图过⊙0外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=.三.解答题:15.甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.16.设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x2+ax,对x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.17.已知A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),且5|AB|=2,(1)求cos(α-β)的值;(2)设α∈(0,π/2),β∈(-π/2,0),且cos(5π/2-β)=-5/13,求sinα的值.18.已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-3sin2x+snxcosx(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象沿水平方向平移m个单位后的图象关于直线x=π/2对称,求m的最小正值.19.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中A∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.20.已知函数f(x)=aln(ex+1)-(a+1)x,g(x)=x2-(a-1)x-f(lnx),a∈R,且g(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值;(2)若对0≤x≤3,不等式g(x)≤|m-1|成立,求m的取值范围;(3)已知∆ABC的三个顶点A,B,C都在函数f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨论∆ABC是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.天津一中2012—2013学年高三数学一月考试卷(理科答案)一、选择题1-4DACB5-8DADC二、填空题9.(2,+∞)10.-0.511.4-ln312.①②③13.[-33,33]14.35三、解答题15.解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288.所以甲获胜的概率是0.36+0.288=0.648.(2)设进行的局数为ξ,则ξ的可取值为2,3,p(ξ=2)=0.6*0.6+0.4*0.4=0.52,p(ξ=3)=2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48.Eξ=2*0.52+3*0.48=2.4816.解:p:∆0且a0,故a2;q:a2x-2/x+1,对x∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)1此时x=-1,故a≥1“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于p,q一真一假.故1≤a≤217.解:(1)由题知552)sin(sin)cos(cos2254)cos(22,所以53)cos((2)02,200，又53)cos(54)sin(.而135)25cos(则135sin1312cos6533])sin[(sin18.解（1）xxxcxxxfcossinsin3)cos23sin21(cos2)(2)32sin(22cos32sincossinsin3cos3cossin22xxxxxxxx.],127,12[)(,12712,2323222ZkkkxfZkkxkZkkxk的单调递减区间为故函数得由（2）)232sin(2)32sin(2)0,(mxyxyma.125,0)(12)1(21)(22322.2)232sin(2的最小正值为时当对称的图象关于直线mkZkkmZkkmxmxy19.（1）解:.3)1(')2()(')(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3))1(,1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线（2）.42)2()('22xeaaxaxxf解：.2232.220)('aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1）a若＞32，则a2＜2a.当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：xa2，a222aa，2a，2a+0—0+↗极大值↘极小值↗.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若＜32，则a2＞2a，当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：x2a，2aaa22，a2，a2+0—0+↗极大值↘极小值↗内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数20.解:(1))0(ln)1()1ln()1()(2xxaxaxaxxg,)0(11)1(2)('xxaxaaxxg,依题设,有0)1('g,所以a=8.(2))0(ln9)1ln(87)(2xxxxxxg)0()1()32)(3)(1(91872)('xxxxxxxxxxg,由0)('xg,得1x或3x函数)(xg增区间(0,1),减区间(1,3)函数)(xg在x=3处取得极小值,g(x)min=g(3);函数g(x)在x=1处取得极大值g(x)max=g(1),不等式|m-1|≥g(x),对0≤x≤3成立,等价于|m-1|≥g(x)max成立即m-1≥g(x)max=g(1)orm-1≤-g(x)max=-g(1),m≤1-g(1)orm≥1+g(1)(3)设))(,(11xfxA,))(,(22xfxB.))(,(33xfxC,且321xxx,2312xxx,则)()()(321xfxfxf,∴))()(,(2121xfxfxxBA,))()(,(2323xfxfxxBC,∴0)()()()())((23212123xfxfxfxfxxxxBCBA.所以B为钝角,ABC是钝角三角形.xexfx9)1ln(8)(,)2(2)()(2121xxfxfxf=])1ln()1)(1[ln(8222111xxxxeee=)]21ln()1[ln(8212121212xxxxxxxxeeeee∵21xx∴221212122xxxxxxeeeee∴212121212211xxxxxxxxeeeee∴0)2(2)()(2121xxfxfxf∴2)()()2(2121xfxfxxf,故f(x)是R上的凹函数.019918)('xxxxeeeexf恒成立∴)(xf在),(上单调递减．若ABC是等腰三角形,则只能是BCBA.即223223221221)]()([)()]()([)(xfxfxxxfxfxx∵2312xxx∴223221)]()([)]()([xfxfxfxf.)()()()(2321xfxfxfxf)()()()(3221xfxfxfxf∴2)()()2(3131xfxfxxf,这与f(x)是R上的凹函数矛盾,故ABC是钝角三角形,但不可能是等腰三角形.