天津科技大学线性代数2008~2009(A)试题及部分答案

2008-2009学年第二学期本科试卷课程名称:线性代数(A）第1页（共7页）学院:专业:学号:姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――学院一、填空题（共15分，每小题3分）1.设方阵100210021A，则行列式2A.2.n元线性方程组Axb无解的充分必要条件是.3.设向量mα能由121,,,mααα线性表示，且表示法唯一，则向量组12,,,mααα的秩为.4.设n阶方阵A满足2AE，则A的所有可能的特征值是.5.设A为n阶实对称矩阵，12,pp分别是矩阵A属于不同特征值12,的特征向量，则内积12(,)pp.二、选择题（共15分，每小题3分）1.设三阶行列式1230450D，元素4的余子式为23M，则方程234M的解为（）.题号一二三四五六七八九总成绩得分阅卷人复核人得分得分年级：2008专业：工科、经济各专业课程号：1101181006第2页（共7页）(A)14；(B)9；(C)6；(D)11.2.设A、B为两个n阶反对称矩阵，则下列说法错误的是（）.(A)AB是反对称矩阵；(B)kA是反对称矩阵；(C)TA是反对称矩阵；(D)AB是反对称矩阵的充分必要条件是ABBA.3.向量mα能由121,,,mααα线性表示是向量组12,,,mααα线性相关的().(A)必要条件；(B)充分条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分也非必要条件.4.下列所给矩阵中为正交矩阵的是（）.(A)111231112211132；(B)100010001；(C)20212316231；(D)111011001.5.设A、B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得APPB，则().(A)AB且~AB；(B)AB但~AB；(C)~AB且AB；(D)AB且~AB.三、（10分）求解矩阵方程AXBC，其中1111A，得分2008-2009学年第二学期本科试卷课程名称:线性代数(A）第3页（共7页）学院:专业:学号:姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――学院100401230B，012123C.四、（10分）求矩阵211020413A的特征值和特征向量.五（10分）求非齐次线性方程组的通解（用对应的齐次线性方程得分得分年级：2008专业：工科、经济各专业课程号：1101181006第4页（共7页）组的基础解系表示通解）.51234123451234512343323263232139455xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解对方程组的增广矩阵施行行的初等变换：=713130--133-213555261-302124001-55513-2-1-1-1000000394-5150000000AT可见()()25RARAn，齐次方程组AXO的基础解系中含有3个解向量.矩阵0T所对应的方程组为12453453713555412555xxxxxxx令2450xxx得特解035045002008-2009学年第二学期本科试卷课程名称:线性代数(A）第5页（共7页）学院:专业:学号:姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――学院基础解系为1231571500,,012050005故原方程组的通解为0112233kkk其中123,,kkk为任意常数.1.六、（12分）设2()37fxxx，340151207A，求()fA.1.解：2()37fAEAA10034034034037010151151151001207207207242801332411447387629121951405220849683七、（8分）设向量组12,,,s线性相关，其中任意1s个向量均线性无关，证明存在一组全不为零的数12,,,skkk，使1122sskkko.得分得分年级：2008专业：工科、经济各专业课程号：1101181006第6页（共7页）证明因为12,,,s线性相关，所以存在不全为零的数12,,,skkk，使1122sskkko2分假设0ik，则11221111iiiisskkkkko6分由于1211,,,,,,iis为1s个向量，由题设知它们线性无关.所以1211,,,,,iiskkkkk同时为零，即12,,,skkk全为零与它们不全为零相矛盾.9分故0ik(1,2,,)is.10分八、（8分）用施密特正交化方法把向量组321,11121，9413标准正交化.得分2008-2009学年第二学期本科试卷课程名称:线性代数(A）第7页（共7页）学院:专业:学号:姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――学院1.九、（12分）求向量组1(1,1,2,4)α，2(0,3,1,2)α，3(3,0,7,14)α，4(1,1,2,0)α，5(2,1,5,6)α的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.2.解：对12345TTTTTAααααα进行初等行变换，得1031210312103011301103303011012172501101000114214060224200000A于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124,,ααα，且有3123ααα，5124αααα.得分