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天一中学李维维老师在“聚焦课堂”的教案李维维，江苏省天一中学青年骨干教师，中国数学奥林匹克高级教练员，担任所在年级数学竞赛主教练一职.以下是他在本次活动中的教案.“曲线上一点处的切线”详案（江苏省天一中学李维维）【目标要求】1.通过割线逼近切线的过程，理解割线的斜率逼近切线的斜率2.会求曲线上某点处的切线的斜率（方程）【重点难点】重点：切线斜率（方程）的探求难点：感悟割线逼近切线的“逼近”思想，割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”的一种数量化一、开场白T：我们知道直线的倾斜程度用斜率来刻画，而曲线的陡峭程度由平均变化率来刻画（PPT打出来）下面我们来复习一下平均变化率S：一般地，函数在区间上的平均变化率为T：很好，特别地，一次函数在区间上的平均变化率为（让学生答）T：实质上，平均变化率是两端点连线的斜率（依然用直线的斜率来刻画），而意义在于近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势.昨天上完课，有同学问我这样一个问题，（PPT演示，同平均变化率的两个函数）.两个函数在区间上平均变化率相同，那么怎样的平均变化率更接近实际变化呢？S：缩小区间T：多小？S：越小越好T：我们知道，缩小区间将会使区间退化成一个点，那么如何精确地刻画曲线上某一点处的“变化趋势”呢？我们来看这样一个演示（软件CorelDraw）T：若将点P附近的曲线放大（即区间变小，两端点逼近），则会发现曲线在点P附近看上去像是直线.若再放大，则曲线在点P附近看上去几乎成了直线（尝试让学生讲出来？？）T：事实上，若继续放大，则曲线在点P附近将逼近一条确定的直线，该直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.因此，在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，在点P附近，曲线可以看成直线（即在很小范围内以直代曲）T：既然这样，我们也可以用直线的斜率来刻画曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势”于是怎样找到这条经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线就成为关键来看这张图，（只有PQ这条直线）.PQ是最逼近曲线的直线吗？S：不是T：有更逼近的吗？S：有T：能否作一条？S：（口述作图方法）T：还有吗？怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线呢？我们下面分组来讨论这个问题，每个小组拿出自己的方案（分组讨论）S：我们小组的方案是：P不动，随着点Q沿着曲线向点P运动，于是PQ越来越逼近曲线，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线T：很好，这条最逼近曲线的直线，事实上就是曲线在点P处的切线.这就是本堂课的主题（板书课题）.这种思想方法就是利用割线来逼近切线.这里说明一下（PPT里打出割线，切线的定义）.T：来看一下例1，我们亲自动手用割线逼近切线的方法来画切线（实物投影仪演示一下学生的成果，给予肯定）利用这种方法，我们找到了曲线上在P处最逼近曲线的直线，即曲线在点P处的切线.根据上节课的知识，我们知道可以用直线的斜率来刻画平均变化率，因此我们可以用这条切线的斜率来刻画曲线在P点处的变化趋势，那么如何求这条切线的斜率呢？问题：如何求曲线上一点处的切线的斜率？（PPT打出来）（让学生讲）S：…T：刚才从图形上我们看到Q点无限逼近P点，那么这个过程反映在数量上就是Q点横坐标与P点横坐标的差无限小，当时，割线变成了切线.利用这种方法，我们可以计算曲线上一点处的切线斜率.例2讲解（亲自板书）例3让学生上黑板板书小结：求曲线上一点处的切线斜率（方程）的步骤：①...②...最后我们来归纳一下：（让学生说感受）1.割线、切线的概念，切线斜率（方程）的求法2.近似到精确（宏观到微观）【目标要求】3.通过割线逼近切线的过程，理解割线的斜率逼近切线的斜率4.会求曲线上某点处的切线的斜率（方程）【重点难点】重点：切线斜率（方程）的探求难点：感悟割线逼近切线的“逼近”思想，割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”的一种数量化【典例剖析】例1.利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线例2.已知，求曲线在x=2处的切线斜率.例3.设曲线在点（1，a）处的切线与直线平行，求a的值．【学后反思】1.求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)的切线的过程：①设曲线上的另一点②求得割线PQ的斜率＝_________③当时，（常数），k即为所求【作业反馈】1.若函数在x=1处有增量时，函数相应的有增量＝___________．2.抛物线在点P(1,-1)处的切线的斜率是_________．3.曲线在点P(x0,y0)处切线平行于直线，则点P坐标为__________．4.曲线在处切线的倾斜角是_________．5.函数在点处的切线方程是．6.在高校数学教材中有结论“当时，”，利用这一结论，可得：当时，无限趋近于常数是．7.如图,为经过曲线上点P和Q的割线，（1）若P(1,2),Q(5,7)，求的斜率；（2）当Q沿曲线向点P靠近时，的斜率是变大还是变小？8.曲线在点A切线的斜率为３，求该曲线在A处的切线方程.