太原理工大学2009矩阵论试题

太原理工大学2002级攻读硕士学位研究生《矩阵分析》试卷1、选择题：（10分）（1）设T是nnC上的线性变换，AnnC,则下列集合不构成子空间的为（）(A)nnCXAXX,0;(B)nnCXXX,0;(C)nnCXTXX,0;(D)nnCXYTXY,;（2）设T是线性空间V上的线性变换，Vxxxn,,,21，则下列不正确的是（）(A))(T;(B)T(niix1)=)(1niixT;(C)若nxxx,,,21线性相关，则)(),(),(21nxTxTxT线性相关。(D)若nxxx,,,21线性无关，则)(),(),(21nxTxTxT线性无关。（3）设V为酉空间，,,,,CVzyx则有（）(A)(x,y)=(y,x)(B)(x,y)=(x,y)(C),0x但0),(xx(D)),(),(yxzyx+),(zx（4）设A为酉矩阵，则下列等式不正确的是（）(A)1A(B)EAAH(C)HAA1(D)EAAH（5）给定—矩阵nnijaA))(()(，则)(A可逆的充要条件是（）(A))(A满秩(B)0)(A(C))(A与E相似(D))(A与E等价2、填空题（20分）（1）设021320012A，则1A,2A，A=，FA=;（2）已知100031141A，则A的约当标准形是;（3）已知0201A，则存在可逆阵P，使00011APP，此时Ae;（4）已知tttttAcossinsincos)(,)(lim0tAt,)(1tAdtd=,则20)(dttA.3、简答题：（10分）（1）设VVV21,的子空间，写出1V与2V的和是直和的四个等价说法。（2）设T是线性空间V上的线性变换，写出T为正交变换的三个等价说法。（3）设A为厄米特阵，写出A为正定阵的两个等价说法。（4）设A是nm矩阵，写出mnG为A的一个1—广义逆的一个等价说法。4、（10分）已知,1011B实线性空间0;)(221122xxxXVij上的变换T定义为:BXXBTXTT)(VX（1）验证T是线性变换；（2）求V的一组基，使T在该基下的矩阵为对角阵。5、（8分）在实数域R上的次数小于n的多项式全体)1(][ntPn中，对于多项式)(tf与)(tg，定义实数10)()(),(dttgtfgf（1）验证),(gf是ntP][中)(tf与)(tg的内积（2）当2n时，取,)(,)(attgttf问a为何值时，)(tf与)(tg正交？6、（10分）设,1,121t与tt46,3421（1）验证21,与21,均为2][tP的一组基，（2）求由基21,到21,的过渡矩阵，（3）元t2在21,下的坐标。7、（8分）已知011100012A，求解柯西问题：TXAXdtdX)1,1,1()0(8、（8分）已知ttttttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeeeeee22222222223333322,求A9、（8分）设1001040111801219A，用圆盘定理（1）估计A的特征值的分布范围；（2）证明A至少有两个实特征值。10、（8分）证明在nnP上的每一种方阵范数，在nP上都存在与它相容的向量范数。太原理工大学2002级工程硕士《矩阵分析》试卷1.（4分）设1V，2V是线性空间V的两个子空间，试写出1V与2V的和为直和的四个等价说法。2.（6分）已知213432412iiA，其中1i，试求1||||A,||||A,FA||||.3.（10分）已知163053064A，试求：1）A的最小多项式；2）EAAAA1332246.4.（15分）设V是R上次数小于等于2的多项式全体组成的线性空间，1）证明10)()(),(dxxgxfgf),(Vgf为V上的一个内积；2）求正交于12)(tth的子空间W的一组基；3）从基},,1{2tt，求一组正交规范基（标准正交基）。5.（10分）设T是n维酉空间V的线性变换，证明下列说法等价：1）T是酉变换；2）T保持向量的长度不变；3）T将V中的标准正交基变为标准正交基；4）T在任一组标准正交基下的矩阵是酉矩阵。6.（10分）设nnCA，且A为厄米特阵，1）证明2||||)(AA；2）已知厄米特阵5221001iiA，试求2||||A。7.（15分）已知,1,,,134323221tettettete及,1,,,134323221tettettete为4][tR的两组基，求：1）从基},,,{4321eeee到基},,,{4321eeee的过渡矩阵C；2）321)(ttttp在两组基下的坐标；3）线性变换)())((tpdtdtpT在两组基下的矩阵。8.（15分）已知012121113A，tetF01)(，1010X，1）求Ate；2）应用矩阵函数法求微分方程)()(tFtAXdtdX满足初始条件0)0(XX的解。9.（15分）设T为22R中的线性变换，使对任一22RX有XBTX，其中0410B，1）求T在基000111E，001012E，010021E，100022E下的矩阵；2）问T的特征值是如何定义的，试说明其合理性并求之；3）求22R的一组基，使得T在该基下的矩阵为对角阵。太原理工大学2003级攻读硕士学位研究生《矩阵分析》试卷1.填空题：（本题20分）（1）已知232011001A，则A的Jordan标准形.J（2）已知5221001iiA，1i，则1||||A，2||||A，FA||||。（3）已知1281A，且幂级数kkkxk06的收敛半径为6，则矩阵幂级数kkkAk06是，其理由是。（4）设A为n阶方阵，||)(AEf，则)(Af。（5）设tttttAcossinsincos)(，则,)(tAdtd,)(1tAdtd.)(20dttA2.（本题10分）在矩阵空间22R中，已知1201P，定义变换:T)(221RXPXPTX（1）验证T是线性变换；（2）求T的特征值与特征向量。3.（本题10分）给定实线性空间nV的基neee,,,21，设nVyx,，在该基下的坐标分别为：Tnxxx),,,(21和Tnyyy),,,(21，定义实数nnyxyxyxyx2211),(，证明：（1）实数),(yx是nV的内积；（2）在该内积下，基neee,,,21是nV的标准正交基。4.（本题10分）设nmijaA)(，定义实数||max||||,ijjiGamnA，证明：GA||||是nmC中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。5.（本题15分）已知221010001A，tetb01)(（1）求Ate（2）求)()()(tbtAxtxdtd，Tx2101)0(的解。6.（本题15分）已知001112001110A，2321b，（1）求A；（2）用广义逆矩阵方法判断方程组bAx是否有解。（3）求方程组bAx的最小范数解。7.（本题10分）在多项式空间][2tP中，设2321)(tktkktf，线性变换T为2213132)()()()(tkktkkkktTf，求][2tP的一个基，使T在该基下的矩阵为对角阵。8（本题10分）已知011.01110011.00201103A，用Gerschgorin定理分离A的特征值，并在复平面上画图表示。