太康县第一高级中学2012--2013高二百名竞赛数学试题(原创题)

1太康县第一高级中学2012--2013高二百名竞赛数学试题命题人：李云厅2012-12-15考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共60分）1．条件甲：“00ba且,条件乙：“方程122byax表示双曲线”，则甲是乙的（）A．充分不必要B..必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列命题中正确的是()A、若pq为真命题，则pq为真命题B、命题“xR，使得x2＋x＋1＜0”的否定是“xR，都有x2＋x＋1＞0”C、命题“若x21，则x＞1”的否命题为“若x21，则x≤1”D、“x＞1”是“x2＋x一2＞0”的充分不必要条件3.“bac”是实数,,abc成等比数列的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线1322yx的左顶点为1A,右焦点为2F,P为双曲线右支上一点，则21PFPA的最小值为（）A.-2B.1681C.1D.05.已知数列na为等差数列，nb为等比数列，且满足：10121000aa，2141bb，则87201111tanbbaa()A．1B．-1C．33D．36.已知抛物线)0(22ppxy上一点M（1，m）（m0）到焦点的距离为5，双曲线122yax的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A.91B.251C.51D.317.数列10011,,1,,,,1abanabanaaannn则且中（）A．99100B．—99100C．100D．—10028.条件p:x1是方程f(x)=0的一个根或x1是方程g(x)=0的一个根;条件q:x1是方程f(x)·g(x)=0的一个根,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（）A.6B.5C.26D.2510.等差数列na的前n项和为Sn，且53655SS，则4a=（）A1B2C31D2111.已知抛物线xy42的焦点F与椭圆)0(12222babyax的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（）A.23B.12C.21D.2212.已知双曲线)0,0(1:22221babyaxC的离心率为2，若抛物线)0(2:22ppyxC的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为（）A.yx3382B.yx33162C.yx82D.yx162二、填空题：(每小题5分，共20分)13.已知yx,满足01305yxxyx，则xyz6的取值范围为14．已知命题2:2,:pxxqxZ且“pq且”与“非q”同时为假命题，则x的取值集合为．15．已知A(1，0),B(-1，0),动点M满足2MAMB,则点M的轨迹方程是．16.已知m,n,s,t为正数，m+n=2,9tnsm其中m,n是常数，且s+t的最小值是94，满足条件的点(m,n)是椭圆12422yx一弦的中点，则此弦所在的直线方程为3三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知函数2()2sincos23cos3,.fxxxxxR在锐角△ABC中，若()1,2fAABAC，求ABC的面积.18.（本小题满分12分）已知命题p:m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥28m恒成立;命题q:不等式x2+ax+20有解.若pq是真命题,pq是假命题,求a的取值范围.19．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东075，距离为126nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西300，距离为83nmile，货轮由A处向正北方向经过2小时航行到达D处，再看灯塔B在北偏东1200.求：（I）货船的航行速度.（II）灯塔C与D之间的距离．420.已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MN→·MP→＝6|NP→|．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x＋2y－12＝0的距离的最小值21.（本小题满分12分）已知数列｛na｝的前n项和为nS，且nS＝1－12na（*nN）．（I）求数列｛na｝的通项公式；（II）已知数列｛nb｝的通项公式bn＝2n一1，记nnncab，求数列｛nc｝的前n项和nT.22．设抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．5高二年级第九次考试数学答案一、选择题（每题5分，共20分）123456789101112ADDADADBBCBD二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.,3141,14.0,115．y=0(x-1)16.x+2y-3=0三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分10分）17.解：()sin23(1cos2)3fxxx＝sin23cos2xx＝2sin(2)3x（3分）又()2sin(2)13fAA∴1sin(2)32A…（6分）∴由0A得∴4A………（7分）而||||2ABACABACCOSA∴||||2ABAC……（9分）∴12||||sin22ABCSABACA………（10分）18.（本小题满分12分）解:∵m∈[-1,1],∴28m∈[22,3].∵对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥28m恒成立,可得a2-5a-3≥3,∴a≥6或a≤-1.故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.命题p为假命题时，-1a6又命题q:不等式x2+ax+20有解,∴Δ=a2-80,∴a22或a-22.命题q为真命题时，a22或a-22，从而命题q为假命题时,-22≤a≤22,又pq是真命题,pq是假命题,∴p与q必有一真一假∴命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为-22≤a≤-1.命题p为假命题,q为真命题时,a的取值范围为22a66综上，a的取值范围是[-22,-1]（22,6）19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)在△ABD中，∠ADB＝60°，∴∠B＝45°.由正弦定理，得ADsin∠B＝ABsin∠ADB.即AD＝ABsin∠Bsin∠ADB＝126×2232＝24milen．所以货船的航行速度为12224vmile/hn.…………………………………（6分）(Ⅱ)在△ACD中，∵AC＝83，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝242＋(83)2－2×24×83cos30°＝192.即CD＝83(milen)．因此，灯塔C与D之间的距离83nmile.…………………………（12分）20.解(1)设动点P(x，y)，则MP→＝(x－4，y)，MN→＝(－3,0)，PN→＝(1－x，－y)，由已知得－3(x－4)＝6(1－x)2＋(－y)2，化简得3x2＋4y2＝12，即x24＋y23＝1.∴点P的轨迹方程是椭圆C：x24＋y23＝1.(2)由几何性质意义知，椭圆C与平行于l的切线l′的距离等于Q与l的距离的最小值．设l′：x＋2y＋D＝0.将其代入椭圆方程消去x，化简得：16y2＋12Dy＋3(D2－4)＝0.∴Δ＝144D2－192(D2－4)＝0⇒D＝±4，l′和l的距离的最小值为|12±4|5.∴点Q与l的距离的最小值为855.21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当n=1时，,21111aa321a.当2n时，11211211nnnnnaaSSa.12123nnaa.311nnaa.数列na是以32为首项，31为公比的等比数列.nnna32)31(321.………………………………………（6分）7（Ⅱ）nnnc32)12(,]31)12(313311[22nnnT.①[来源:学&科&网]23111112[13(21)]3333nnTn.②①-②，得]31)12(323231[23212nnnnT.]3112311)311(91231[23211nnnnT.nnnT3222)(Nn.……………………………………（12分）22．解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝2p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝2p.因为△ABD的面积为42，所以12|BD|·d＝42，即12·2p·2p＝42，解得p＝－2(舍去)，p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝12|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－233px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0.解得b＝－p6.因为m的截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.